Номер 771, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 771, страница 228.

Условие.

771 Найти все значения x, при которых функция $y = 1,5 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти все значения $x$, при которых функция $y = 1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2}$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2} > 0$.

Для упрощения этого тригонометрического неравенства воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = x$, и формула приобретает вид: $\cos(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$.

Теперь преобразуем исходную функцию, чтобы использовать эту формулу. Представим $1,5$ как $0,5 + 1$: $y = 1,5 - 2\sin^2\frac{x}{2} = 0,5 + 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} = 0,5 + (1 - 2\sin^2\frac{x}{2})$.

Заменив выражение в скобках на $\cos(x)$, мы получаем значительно более простую функцию: $y = 0,5 + \cos(x)$.

Теперь неравенство $y > 0$ принимает вид: $0,5 + \cos(x) > 0$.

Перенесем $0,5$ в правую часть: $\cos(x) > -0,5$.

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Сначала найдем значения $x$, для которых $\cos(x) = -0,5$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3}$.

Нам нужны значения $x$, для которых косинус больше $-0,5$. На единичной окружности это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой $-0,5$. Таким образом, решение для одного периода будет интервал: $-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$.

Так как функция косинуса периодическая с периодом $2\pi$, то для получения всех решений нужно добавить к границам интервала $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Общее решение неравенства: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.