Номер 766, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 766, страница 228.

Условие.

766 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \cos^4 x - \sin^4 x$;2) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = 1 - 2 |\sin 3x|$;4) $y = \sin^2 x - 2 \cos^2 x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \cos^4 x - \sin^4 x$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, представив выражение в виде $(\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2$.

$y = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$

Применим два основных тригонометрических тождества:

• Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
• Формула косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Подставив эти тождества в наше выражение, получаем:

$y = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)$

Область значений функции косинус находится в промежутке от -1 до 1 включительно. Таким образом, $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Следовательно, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее — -1.

Ответ: Наибольшее значение: 1; наименьшее значение: -1.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ используем формулу произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

В данном случае $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.

Найдём разность и сумму углов:

$\alpha - \beta = \left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$

$\alpha + \beta = \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2x$

Подставляем полученные значения в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos(2x)\right)$

Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, выражение упрощается до:

$y = \frac{1}{2}(0 - \cos(2x)) = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

Мы знаем, что область значений $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Умножив неравенство $-1 \le \cos(2x) \le 1$ на $-\frac{1}{2}$, мы должны поменять знаки неравенства:

$-\frac{1}{2} \cdot (-1) \ge -\frac{1}{2}\cos(2x) \ge -\frac{1}{2} \cdot 1$

$\frac{1}{2} \ge y \ge -\frac{1}{2}$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, а наименьшее — $-\frac{1}{2}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{1}{2}$; наименьшее значение: $-\frac{1}{2}$.

3) Рассмотрим функцию $y = 1 - 2|\sin 3x|$.

Область значений функции синус, $\sin(3x)$, — это отрезок $[-1, 1]$.

Применяя модуль, мы получаем, что область значений для $|\sin 3x|$ — это отрезок $[0, 1]$. То есть, $0 \le |\sin 3x| \le 1$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y$, проанализируем, как изменяется значение $y$ в зависимости от значения $|\sin 3x|$.

Наибольшее значение $y$ достигается, когда вычитаемое $2|\sin 3x|$ минимально. Минимальное значение $|\sin 3x|$ равно 0. В этом случае:

$y_{max} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$

Наименьшее значение $y$ достигается, когда вычитаемое $2|\sin 3x|$ максимально. Максимальное значение $|\sin 3x|$ равно 1. В этом случае:

$y_{min} = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Следовательно, значения функции находятся в диапазоне $[-1, 1]$.

Ответ: Наибольшее значение: 1; наименьшее значение: -1.

4) Для функции $y = \sin^2 x - 2\cos^2 x$ используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для того, чтобы выразить функцию через одну тригонометрическую функцию.

Выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) = \sin^2 x - 2 + 2\sin^2 x = 3\sin^2 x - 2$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin^2 x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $0 \le \sin^2 x \le 1$. Следовательно, $t$ изменяется в пределах от 0 до 1, то есть $t \in [0, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений линейной функции $y(t) = 3t - 2$ на отрезке $[0, 1]$.

Так как коэффициент при $t$ положителен (равен 3), функция является возрастающей. Значит, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение (при $t = 0$):

$y_{min} = 3 \cdot 0 - 2 = -2$

Наибольшее значение (при $t = 1$):

$y_{max} = 3 \cdot 1 - 2 = 1$

Ответ: Наибольшее значение: 1; наименьшее значение: -2.