Номер 1, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Проверь себя к главе 7 - номер 1, страница 228.

Условие.

1 Найти область определения функции $y = \operatorname{tg} 4x$. Является ли эта функция чётной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Найти область определения функции y=tg 4x

Функция тангенса $y = \text{tg } \alpha$ определена для всех значений своего аргумента $\alpha$, кроме тех, при которых косинус этого аргумента равен нулю, так как по определению $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

В нашем случае аргументом является $4x$. Следовательно, функция $y = \text{tg } 4x$ не определена в точках, где знаменатель равен нулю, то есть $\cos 4x = 0$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Приравниваем аргумент к этим значениям:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это точки, в которых функция не существует. Областью определения являются все действительные числа, кроме этих точек.

Ответ: Область определения функции D(y) — это множество всех действительных чисел $x$, таких что $x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Является ли эта функция чётной?

Функция $y(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

Функция $y(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.

Сначала необходимо убедиться, что область определения функции симметрична относительно начала координат (точки $x=0$). Как мы выяснили ранее, область определения $D(y): x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$. Эта область симметрична, так как если точка $x_0$ не входит в область определения, то и точка $-x_0$ также не входит в нее.

Теперь проверим выполнение условия четности/нечетности для функции $y(x) = \text{tg } 4x$. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \text{tg}(4(-x)) = \text{tg}(-4x)$

Функция тангенс является нечётной, то есть для любого $\alpha$ из её области определения справедливо равенство $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. Применим это свойство:

$\text{tg}(-4x) = -\text{tg}(4x)$

Таким образом, мы получили, что $y(-x) = -y(x)$.

Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, а не $y(-x) = y(x)$, данная функция является нечётной, а не чётной.

Ответ: Нет, данная функция не является чётной. Она является нечётной.