Номер 2, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Проверь себя к главе 7 - номер 2, страница 228.

Условие.

2 Построить графики функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; 2\pi]$. Для каждой из этих функций найти значения $x$ из данного отрезка, при которых $y(x) = 1$, $y(x) = -1$, $y(x) = 0$, $y(x) > 0$, $y(x) < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Сначала построим графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; 2\pi]$. График функции $y = \sin x$ (синусоида) проходит через следующие ключевые точки на данном отрезке: $(-\pi, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$. График функции $y = \cos x$ (косинусоида) является сдвинутой версией синусоиды и проходит через точки: $(-\pi, -1)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

Проанализируем каждую функцию отдельно.

Функция $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; 2\pi]$

$y(x) = 1$
Решаем уравнение $\sin x = 1$. Общее решение имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Нам нужно найти значения $x$ из отрезка $[-\pi; 2\pi]$. При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в наш отрезок. При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$, что больше $2\pi$. При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что меньше $-\pi$. Следовательно, подходит только одно значение.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

$y(x) = -1$
Решаем уравнение $\sin x = -1$. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подбираем $n$, чтобы $x \in [-\pi; 2\pi]$. При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$. Входит в отрезок. При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$. Входит в отрезок. При $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{5\pi}{2}$, что меньше $-\pi$. При $n=2$, $x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$, что больше $2\pi$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

$y(x) = 0$
Решаем уравнение $\sin x = 0$. Общее решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подбираем $n$, чтобы $x \in [-\pi; 2\pi]$. При $n=-1$, $x = -\pi$. Входит в отрезок. При $n=0$, $x = 0$. Входит в отрезок. При $n=1$, $x = \pi$. Входит в отрезок. При $n=2$, $x = 2\pi$. Входит в отрезок.
Ответ: $x = -\pi, 0, \pi, 2\pi$.

$y(x) > 0$
Решаем неравенство $\sin x > 0$. Это выполняется, когда аргумент синуса находится в первой или второй координатной четверти, то есть $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $n=0$, получаем интервал $(0, \pi)$, который полностью лежит в отрезке $[-\pi; 2\pi]$. Другие значения $n$ дают интервалы, не пересекающиеся с $[-\pi; 2\pi]$ (кроме граничных точек, где $y=0$).
Ответ: $x \in (0, \pi)$.

$y(x) < 0$
Решаем неравенство $\sin x < 0$. Это выполняется, когда аргумент синуса находится в третьей или четвертой координатной четверти, то есть $\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $n=-1$, получаем интервал $(-\pi, 0)$. Он входит в отрезок $[-\pi; 2\pi]$. При $n=0$, получаем интервал $(\pi, 2\pi)$. Он входит в отрезок $[-\pi; 2\pi]$.
Ответ: $x \in (-\pi, 0) \cup (\pi, 2\pi)$.

---

Функция $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; 2\pi]$

$y(x) = 1$
Решаем уравнение $\cos x = 1$. Общее решение: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подбираем $n$, чтобы $x \in [-\pi; 2\pi]$. При $n=0$, $x = 0$. Входит в отрезок. При $n=1$, $x = 2\pi$. Входит в отрезок.
Ответ: $x = 0, 2\pi$.

$y(x) = -1$
Решаем уравнение $\cos x = -1$. Общее решение: $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подбираем $n$, чтобы $x \in [-\pi; 2\pi]$. При $n=0$, $x = \pi$. Входит в отрезок. При $n=-1$, $x = \pi - 2\pi = -\pi$. Входит в отрезок.
Ответ: $x = -\pi, \pi$.

$y(x) = 0$
Решаем уравнение $\cos x = 0$. Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подбираем $n$, чтобы $x \in [-\pi; 2\pi]$. При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Входит в отрезок. При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Входит в отрезок. При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Входит в отрезок.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

$y(x) > 0$
Решаем неравенство $\cos x > 0$. Это выполняется, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой координатной четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $n=0$, получаем интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Он входит в отрезок $[-\pi; 2\pi]$. При $n=1$, получаем интервал $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$. Пересечение с отрезком $[-\pi; 2\pi]$ дает интервал $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. В точке $x=2\pi$ значение $\cos(2\pi) = 1 > 0$, поэтому она включается.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.

$y(x) < 0$
Решаем неравенство $\cos x < 0$. Это выполняется, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей координатной четверти, то есть $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $n=0$, получаем интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Он входит в отрезок $[-\pi; 2\pi]$. При $n=-1$, получаем интервал $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$. Пересечение с отрезком $[-\pi; 2\pi]$ дает интервал $[-\pi, -\frac{\pi}{2})$. В точке $x=-\pi$ значение $\cos(-\pi) = -1 < 0$, поэтому она включается.
Ответ: $x \in [-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.