Номер 759, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 7. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 759, страница 227.

759 Найти множество значений функции:

1) $y = 1 - 2 \sin^2 x$;

2) $y = 2 \cos^2 x - 1$;

3) $y = 3 - 2 \sin^2 x$;

4) $y = 2 \cos^2 x + 5$;

5) $y = \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x + 4$;

6) $y = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x - 3$.

1) Дана функция $y = 1 - 2 \sin^2 x$. Для нахождения множества значений, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$. Применив эту формулу к нашей функции, получаем: $y = \cos(2x)$. Множество значений функции косинус, независимо от ее аргумента, есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Следовательно, множество значений исходной функции — это отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

2) Дана функция $y = 2 \cos^2 x - 1$. Для нахождения множества значений, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1$. Применив эту формулу, получаем: $y = \cos(2x)$. Множество значений функции косинус, независимо от ее аргумента, есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Следовательно, множество значений исходной функции — это отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

3) Дана функция $y = 3 - 2 \sin^2 x$. Чтобы упростить выражение, преобразуем его: $y = 2 + (1 - 2 \sin^2 x)$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$, получаем: $y = 2 + \cos(2x)$. Мы знаем, что множество значений функции $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Чтобы найти множество значений для $y$, прибавим 2 ко всем частям этого двойного неравенства: $2 - 1 \le 2 + \cos(2x) \le 2 + 1$. В результате получаем $1 \le y \le 3$. Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[1, 3]$.
Ответ: $E(y) = [1, 3]$.

4) Дана функция $y = 2 \cos^2 x + 5$. Из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1$ выразим $2 \cos^2 x$: $2 \cos^2 x = 1 + \cos(2x)$. Подставим это выражение в исходную функцию: $y = (1 + \cos(2x)) + 5$, что равно $y = 6 + \cos(2x)$. Множество значений функции $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Прибавим 6 ко всем частям неравенства: $6 - 1 \le 6 + \cos(2x) \le 6 + 1$. Получаем $5 \le y \le 7$. Следовательно, множество значений данной функции — это отрезок $[5, 7]$.
Ответ: $E(y) = [5, 7]$.

5) Дана функция $y = \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x + 4$. Выражение $\cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x$ можно переписать как $\sin x \cos 3x - \cos x \sin 3x$. Это соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. Пусть $\alpha = x$ и $\beta = 3x$. Тогда $\sin x \cos 3x - \cos x \sin 3x = \sin(x - 3x) = \sin(-2x)$. Так как синус — нечетная функция, то $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Таким образом, функция принимает вид: $y = -\sin(2x) + 4$. Множество значений функции $\sin(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $1 \ge -\sin(2x) \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le -\sin(2x) \le 1$. Прибавим 4 ко всем частям неравенства: $4 - 1 \le 4 - \sin(2x) \le 4 + 1$. Получаем $3 \le y \le 5$. Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $E(y) = [3, 5]$.

6) Дана функция $y = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x - 3$. Выражение $\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x$ соответствует формуле косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. Пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Тогда $\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x = \cos(2x - x) = \cos x$. Таким образом, функция упрощается до $y = \cos x - 3$. Множество значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Вычтем 3 из всех частей неравенства: $-1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3$. Получаем $-4 \le y \le -2$. Следовательно, множество значений данной функции — это отрезок $[-4, -2]$.
Ответ: $E(y) = [-4, -2]$.