Номер 755, страница 226 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 755, страница 226.

Условие.

755 1) $\operatorname{arctg} \frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}$;

2) $\operatorname{arctg} \frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}$;

3) $\operatorname{arctg} (2x+1) = -\frac{\pi}{3}$;

4) $\operatorname{arctg} (2-3x) = -\frac{\pi}{4}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $arctg \frac{1-x}{4} = \frac{\pi}{3}$

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$ (где $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$), то $a = tg(b)$.

Применим это свойство к нашему уравнению, так как $\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$:

$\frac{1-x}{4} = tg(\frac{\pi}{3})$

Значение тангенса от $\frac{\pi}{3}$ является табличным: $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1-x}{4} = \sqrt{3}$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на 4:

$1 - x = 4\sqrt{3}$

Выразим $x$:

$-x = 4\sqrt{3} - 1$

$x = 1 - 4\sqrt{3}$

Ответ: $x = 1 - 4\sqrt{3}$.

2) $arctg \frac{1+2x}{3} = \frac{\pi}{4}$

По определению арктангенса, так как $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, уравнение равносильно следующему:

$\frac{1+2x}{3} = tg(\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

$\frac{1+2x}{3} = 1$

Умножим обе части уравнения на 3:

$1+2x = 3$

Решим уравнение относительно $x$:

$2x = 3 - 1$

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

3) $arctg (2x+1) = -\frac{\pi}{3}$

По определению арктангенса, так как $-\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы можем записать:

$2x+1 = tg(-\frac{\pi}{3})$

Тангенс является нечетной функцией, поэтому $tg(-a) = -tg(a)$. Следовательно:

$tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

Подставляем это значение в уравнение:

$2x+1 = -\sqrt{3}$

Решаем уравнение:

$2x = -1 - \sqrt{3}$

$x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

4) $arctg (2-3x) = -\frac{\pi}{4}$

По определению арктангенса, так как $-\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем:

$2-3x = tg(-\frac{\pi}{4})$

Используя свойство нечетности тангенса:

$tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$

Подставляем значение в уравнение:

$2-3x = -1$

Решаем уравнение:

$-3x = -1 - 2$

$-3x = -3$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.