Номер 748, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 42. Свойства функции y=tg x и её график. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 748, страница 222.

748 1) $y = \text{tg}\left(3x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = \text{ctg}\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right).$

1) $y = \tg(3x - \frac{\pi}{4})$

Для того чтобы исследовать данную функцию, найдем ее область определения и основной период.

Область определения:
Функция тангенса $y = \tg(u)$ определена для всех значений своего аргумента $u$, кроме тех, в которых косинус обращается в ноль, так как $\tg(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$. Это происходит в точках $u = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргумент функции $u = 3x - \frac{\pi}{4}$. Таким образом, функция не определена, когда: $3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы найти значения, которые необходимо исключить из области определения: $3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$3x = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме точек $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$.

Период:
Основной период функции $y = \tg(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $y = A \cdot \tg(kx + b) + C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

В нашей функции $y = \tg(3x - \frac{\pi}{4})$ коэффициент при $x$ равен $k=3$. Значит, период: $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: Область определения функции $D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. Основной период функции $T = \frac{\pi}{3}$.

2) $y = \ctg(3(x + \frac{\pi}{6}))$

Сначала упростим выражение в аргументе функции, раскрыв скобки: $y = \ctg(3x + 3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \ctg(3x + \frac{\pi}{2})$.

Теперь найдем область определения и основной период полученной функции.

Область определения:
Функция котангенса $y = \ctg(u)$ определена для всех значений своего аргумента $u$, кроме тех, в которых синус обращается в ноль, так как $\ctg(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)}$. Это происходит в точках $u = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргумент функции $u = 3x + \frac{\pi}{2}$. Таким образом, функция не определена, когда: $3x + \frac{\pi}{2} = \pi n$

Решим это уравнение относительно $x$: $3x = \pi n - \frac{\pi}{2}$
$x = \frac{1}{3} \left( \pi n - \frac{\pi}{2} \right)$
$x = \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме точек $x = \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}$.

Период:
Основной период функции $y = \ctg(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $y = A \cdot \ctg(kx + b) + C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

В нашей функции $y = \ctg(3x + \frac{\pi}{2})$ коэффициент при $x$ равен $k=3$. Значит, период: $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: Область определения функции $D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}$. Основной период функции $T = \frac{\pi}{3}$.