Номер 743, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 743, страница 222.

Условие.

743 Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

1) $tg 2x \le 1;$

2) $tg 3x < -\sqrt{3}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\text{tg } 2x \le 1$

Сначала найдем общее решение неравенства. Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\text{tg } t \le 1$.

Общее решение для неравенства вида $\text{tg } t \le a$ — это совокупность промежутков $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a=1$, и $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, общее решение для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 2x$ и выразим $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$
$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем решения, принадлежащие заданному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, перебирая целые значения $n$.

• При $n = -1$: $-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} \implies -\frac{3\pi}{4} < x \le -\frac{3\pi}{8}$. Пересечение этого промежутка с $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ дает решение $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}]$.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{8}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.
• При $n = 1$: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} \implies \frac{\pi}{4} < x \le \frac{5\pi}{8}$. Этот промежуток также полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.
• При $n = 2$: $-\frac{\pi}{4} + \pi < x \le \frac{\pi}{8} + \pi \implies \frac{3\pi}{4} < x \le \frac{9\pi}{8}$. Пересечение этого промежутка с $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ дает решение $x \in (\frac{3\pi}{4}; \pi)$.

При $n < -1$ и $n > 2$ решения не попадают в заданный промежуток.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}] \cup (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}] \cup (\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{8}] \cup (\frac{3\pi}{4}; \pi)$.

2) $\text{tg } 3x < -\sqrt{3}$

Сначала найдем общее решение неравенства. Пусть $t = 3x$. Неравенство принимает вид $\text{tg } t < -\sqrt{3}$.

Общее решение для неравенства вида $\text{tg } t < a$ — это совокупность промежутков $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a=-\sqrt{3}$, и $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Таким образом, общее решение для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 3x$ и выразим $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < -\frac{\pi}{3} + \pi n$
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем решения, принадлежащие заданному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, перебирая целые значения $n$.

• При $n = -1$: $-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} \implies -\frac{\pi}{2} < x < -\frac{4\pi}{9}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{9}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.
• При $n = 1$: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} \implies \frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{9}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.
• При $n = 2$: $-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \implies \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{9}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.
• При $n = 3$: $-\frac{\pi}{6} + \pi < x < -\frac{\pi}{9} + \pi \implies \frac{5\pi}{6} < x < \frac{8\pi}{9}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

При $n < -1$ и $n > 3$ решения не попадают в заданный промежуток.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{4\pi}{9}) \cup (-\frac{\pi}{6}; -\frac{\pi}{9}) \cup (\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{9}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{9}) \cup (\frac{5\pi}{6}; \frac{8\pi}{9})$.