Номер 750, страница 226 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 750, страница 226.

Условие.

Сравнить числа (750–752).

750 1) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arcsin \frac{2}{\sqrt{10}} tuyển chọn;

2) $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $ \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}} $ воспользуемся свойством функции арксинус. Функция $ y = \arcsin x $ является возрастающей на всей своей области определения $ [-1, 1] $. Это означает, что для любых $ x_1, x_2 $ из области определения, если $ x_1 < x_2 $, то $ \arcsin x_1 < \arcsin x_2 $.

Следовательно, чтобы сравнить значения арксинусов, достаточно сравнить их аргументы: $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \frac{2}{\sqrt{10}} $.

Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Для положительных чисел, чем больше число, тем больше его квадрат.

Найдем квадраты аргументов:

$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} $

$ \left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{2}{5} $. Приведем их к общему знаменателю 15:

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15} $

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} $

Поскольку $ \frac{5}{15} < \frac{6}{15} $, то $ \frac{1}{3} < \frac{2}{5} $.

Это означает, что $ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 < \left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right)^2 $, и так как аргументы положительны, то $ \frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{10}} $.

Так как функция $ \arcsin x $ возрастающая, из полученного неравенства для аргументов следует, что $ \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}} $.

Ответ: $ \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}} $.

2) Для сравнения чисел $ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) $ и $ \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) $ мы также воспользуемся свойством возрастания функции $ y = \arcsin x $.

Сравним аргументы этих функций: $ -\frac{2}{3} $ и $ -\frac{3}{4} $.

Чтобы сравнить эти отрицательные дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12:

$ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{8}{12} $

$ -\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{9}{12} $

Теперь сравним числа $ -\frac{8}{12} $ и $ -\frac{9}{12} $. На числовой прямой $ -8 $ находится правее $ -9 $, поэтому $ -8 > -9 $. Следовательно:

$ -\frac{8}{12} > -\frac{9}{12} $

Это означает, что $ -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} $.

Поскольку функция $ \arcsin x $ возрастающая, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из неравенства $ -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} $ следует, что $ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) > \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) $.

Ответ: $ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) > \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) $.