Номер 745, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 745, страница 222.

Условие.

745 Найти множество значений функции $y = \operatorname{tg} x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$;

2) $(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$;

3) $(0; \pi)$;

4) $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения множества значений функции $y = \text{tg } x$ на заданных промежутках, необходимо проанализировать её поведение (монотонность, точки разрыва, значения на границах).

Функция $y = \text{tg } x$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своего определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ — любое целое число. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция имеет вертикальные асимптоты.

1) $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$

Данный отрезок $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ полностью находится внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \text{tg } x$ непрерывна и возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция примет на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Нижняя граница: $y(-\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
• Верхняя граница: $y(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это отрезок от $-1$ до $\sqrt{3}$.
Ответ: $[-1, \sqrt{3}]$.

2) $x \in (\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$

Рассматриваемый интервал $(\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ является частью интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \text{tg } x$ непрерывна и возрастает. Правая граница $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой.

Определим поведение функции на границах интервала:

• При $x$, стремящемся к $\frac{3\pi}{4}$ справа, значение функции стремится к $\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.
• При $x$, стремящемся к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), значение функции $y = \text{tg } x$ стремится к $+\infty$.

Поскольку функция возрастает на этом интервале, множество её значений — это интервал от значения в точке $\frac{3\pi}{4}$ (не включая его) до плюс бесконечности.
Ответ: $(-1, +\infty)$.

3) $x \in (0, \pi)$

Интервал $(0, \pi)$ содержит точку разрыва функции $x = \frac{\pi}{2}$. Поэтому необходимо рассмотреть поведение функции на двух подинтервалах: $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

• На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \text{tg } x$ возрастает. При $x \to 0^+$, $y \to \text{tg}(0) = 0$. При $x \to \frac{\pi}{2}^-$, $y \to +\infty$. Таким образом, на этом интервале функция принимает все значения из $(0, +\infty)$.
• На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ функция $y = \text{tg } x$ также возрастает. При $x \to \frac{\pi}{2}^+$, $y \to -\infty$. При $x \to \pi^-$, $y \to \text{tg}(\pi) = 0$. Таким образом, на этом интервале функция принимает все значения из $(-\infty, 0)$.

Множество значений на всем интервале $(0, \pi)$ является объединением множеств значений на этих двух подинтервалах. Значение $0$ не достигается, так как точки $x=0$ и $x=\pi$ не входят в интервал.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

4) $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$

Отрезок $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ содержит точку разрыва $x = \frac{\pi}{2}$. Разобьем его на два промежутка: $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}]$.

• На промежутке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \text{tg } x$ возрастает. Значение на левом конце: $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. При $x \to \frac{\pi}{2}^-$, $y \to +\infty$. Множество значений на этом промежутке: $[1, +\infty)$.
• На промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}]$ функция $y = \text{tg } x$ возрастает. При $x \to \frac{\pi}{2}^+$, $y \to -\infty$. Значение на правом конце: $\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Множество значений на этом промежутке: $(-\infty, -1]$.

Объединяя полученные множества, получаем итоговый результат.
Ответ: $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.