Номер 742, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 742, страница 222.

Условие.

742 Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

1) $tg 2x = \sqrt{3}$;

2) $tg 3x = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала найдем общее решение уравнения $\text{tg } 2x = \sqrt{3}$.

Аргумент тангенса $2x$ равен $\text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, найдем $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} < \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{6} + \frac{k}{2} < 1$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{6} < \frac{k}{2} < 1 - \frac{1}{6}$

$-\frac{3}{6} - \frac{1}{6} < \frac{k}{2} < \frac{6}{6} - \frac{1}{6}$

$-\frac{4}{6} < \frac{k}{2} < \frac{5}{6}$

$-\frac{2}{3} < \frac{k}{2} < \frac{5}{6}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4}{3} < k < \frac{5}{3}$

Так как $k$ — целое число, то подходящие значения $k$: $-1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{6}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Все три найденных корня ($-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}$) принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}$.

2) Решим уравнение $\text{tg } 3x = -1$.

Общее решение имеет вид:

$3x = \text{arctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Так как $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Отсюда находим $x$:

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$. Решим неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < -\frac{1}{12} + \frac{n}{3} < 1$

Прибавим $\frac{1}{12}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{12} < \frac{n}{3} < 1 + \frac{1}{12}$

$-\frac{6}{12} + \frac{1}{12} < \frac{n}{3} < \frac{12}{12} + \frac{1}{12}$

$-\frac{5}{12} < \frac{n}{3} < \frac{13}{12}$

Умножим все части на 3:

$-\frac{15}{12} < n < \frac{39}{12}$

$-\frac{5}{4} < n < \frac{13}{4}$

Так как $n$ — целое число, то подходящие значения $n$: $-1, 0, 1, 2, 3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $n=-1$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi(-1)}{3} = -\frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}$.

При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = -\frac{\pi}{12}$.

При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 1}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

При $n=2$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 2}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

При $n=3$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 3}{3} = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$.

Все пять найденных корней принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $-\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$.