Номер 735, страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 735, страница 221.

Условие.

735 С помощью свойства возрастания функции $y = \operatorname{tg} x$ сравнить числа:

1) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$;

2) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}$ и $\operatorname{tg} \frac{8\pi}{9}$;

3) $\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right)$;

4) $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right)$;

5) $\operatorname{tg} 2$ и $\operatorname{tg} 3$;

6) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 1,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для сравнения чисел воспользуемся свойством функции $y = \operatorname{tg} x$. Эта функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из одного и того же интервала возрастания, если $x_1 < x_2$, то и $\operatorname{tg} x_1 < \operatorname{tg} x_2$.

1) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$
Сначала сравним аргументы функции: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$.
Поскольку знаменатель $5 < 7$, то дробь $\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$, а значит $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$.
Оба аргумента, $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$, принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, который является частью основного интервала возрастания тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Так как функция $y = \operatorname{tg} x$ на этом интервале возрастает и $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$, то $\operatorname{tg}\frac{\pi}{5} > \operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{5} > \operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$.

2) $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}$ и $\operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}$
Сравним аргументы $\frac{7\pi}{8}$ и $\frac{8\pi}{9}$. Для этого приведем их к общему знаменателю $72$:
$\frac{7\pi}{8} = \frac{9 \cdot 7\pi}{72} = \frac{63\pi}{72}$
$\frac{8\pi}{9} = \frac{8 \cdot 8\pi}{72} = \frac{64\pi}{72}$
Поскольку $63 < 64$, то $\frac{63\pi}{72} < \frac{64\pi}{72}$, следовательно, $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$.
Оба аргумента находятся в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\frac{7}{8} < 1$ и $\frac{8}{9} < 1$, но при этом $\frac{7}{8} > \frac{1}{2}$ и $\frac{8}{9} > \frac{1}{2}$.
Интервал $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ является частью интервала возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.
Так как функция на этом интервале возрастает и $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$, то $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8} < \operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}$.
Ответ: $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8} < \operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}$.

3) $\operatorname{tg}(-\frac{7\pi}{8})$ и $\operatorname{tg}(-\frac{8\pi}{9})$
Сравним аргументы $-\frac{7\pi}{8}$ и $-\frac{8\pi}{9}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$. Умножив обе части неравенства на $-1$, мы сменим знак на противоположный: $-\frac{7\pi}{8} > -\frac{8\pi}{9}$.
Оба аргумента находятся в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Этот интервал является частью интервала возрастания тангенса $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$ (при $k=-1$).
Поскольку функция на этом интервале возрастает и $-\frac{7\pi}{8} > -\frac{8\pi}{9}$, то $\operatorname{tg}(-\frac{7\pi}{8}) > \operatorname{tg}(-\frac{8\pi}{9})$.
Ответ: $\operatorname{tg}(-\frac{7\pi}{8}) > \operatorname{tg}(-\frac{8\pi}{9})$.

4) $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{5})$ и $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{7})$
Сравним аргументы $-\frac{\pi}{5}$ и $-\frac{\pi}{7}$.
Из пункта 1 мы знаем, что $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$. После умножения на $-1$ получаем: $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$.
Оба аргумента принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, который является частью интервала возрастания $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Так как функция на этом интервале возрастает и $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$, то $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{5}) < \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{7})$.
Ответ: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{5}) < \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{7})$.

5) $\operatorname{tg} 2$ и $\operatorname{tg} 3$
Сравним аргументы $2$ и $3$. Очевидно, что $2 < 3$.
Оценим, в каком интервале возрастания находятся эти числа (в радианах). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.
Оба числа, $2$ и $3$, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, так как $1,57 < 2 < 4,71$ и $1,57 < 3 < 4,71$.
На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $y=\operatorname{tg} x$ возрастает.
Поскольку $2 < 3$, то $\operatorname{tg} 2 < \operatorname{tg} 3$.
Ответ: $\operatorname{tg} 2 < \operatorname{tg} 3$.

6) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 1,5$
Сравним аргументы $1$ и $1,5$. Очевидно, что $1 < 1,5$.
Оценим, в каком интервале возрастания находятся эти числа. Используем приближенное значение $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Оба числа, $1$ и $1,5$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как $-1,57 < 1 < 1,57$ и $-1,57 < 1,5 < 1,57$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $y=\operatorname{tg} x$ возрастает.
Поскольку $1 < 1,5$, то $\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1,5$.
Ответ: $\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1,5$.