Номер 728, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 728, страница 216.

Условие.

728 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку $ \left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right] $:

1) $ \sin 2x \ge -\frac{1}{2} $;

2) $ \sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \sin 2x \ge -\frac{1}{2} $ на отрезке $ [-\frac{3\pi}{2}; \pi] $

1. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Исходное неравенство принимает вид $ \sin t \ge -\frac{1}{2} $.

2. Найдем, в какой промежуток попадает переменная $ t $. Так как $ x \in [-\frac{3\pi}{2}; \pi] $, то $ 2x \in [2 \cdot (-\frac{3\pi}{2}); 2 \cdot \pi] $, то есть $ t \in [-3\pi; 2\pi] $.

3. Решим неравенство $ \sin t \ge -\frac{1}{2} $ на тригонометрической окружности. Решением этого неравенства является дуга, на которой значения синуса больше или равны $ -\frac{1}{2} $. Это соответствует углам $ t $, для которых выполняется двойное неравенство: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

4. Выберем значения $ k $, при которых полученные отрезки для $ t $ попадают в промежуток $ [-3\pi; 2\pi] $.

• При $ k=0 $: $ [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] $. Этот отрезок полностью содержится в $ [-3\pi; 2\pi] $.
• При $ k=1 $: $ [-\frac{\pi}{6} + 2\pi; \frac{7\pi}{6} + 2\pi] = [\frac{11\pi}{6}; \frac{19\pi}{6}] $. Пересечение с $ [-3\pi; 2\pi] $ дает отрезок $ [\frac{11\pi}{6}; 2\pi] $.
• При $ k=-1 $: $ [-\frac{\pi}{6} - 2\pi; \frac{7\pi}{6} - 2\pi] = [-\frac{13\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}] $. Этот отрезок полностью содержится в $ [-3\pi; 2\pi] $.
• При $ k=-2 $: $ [-\frac{\pi}{6} - 4\pi; \frac{7\pi}{6} - 4\pi] = [-\frac{25\pi}{6}; -\frac{17\pi}{6}] $. Пересечение с $ [-3\pi; 2\pi] $ дает отрезок $ [-3\pi; -\frac{17\pi}{6}] $.

Таким образом, решения для $ t $ на отрезке $ [-3\pi; 2\pi] $ представляют собой объединение следующих промежутков:

$ t \in [-3\pi; -\frac{17\pi}{6}] \cup [-\frac{13\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}] \cup [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}; 2\pi] $.

5. Произведем обратную замену $ x = t/2 $. Для этого разделим концы найденных отрезков на 2:

$ x \in [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{17\pi}{12}] \cup [-\frac{13\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}] \cup [-\frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{12}; \pi] $.

Ответ: $ x \in [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{17\pi}{12}] \cup [-\frac{13\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}] \cup [-\frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{12}; \pi] $.

---

2) $ \sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2} $ на отрезке $ [-\frac{3\pi}{2}; \pi] $

1. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3x $. Неравенство примет вид $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Найдем промежуток для переменной $ t $. Так как $ x \in [-\frac{3\pi}{2}; \pi] $, то $ 3x \in [3 \cdot (-\frac{3\pi}{2}); 3 \cdot \pi] $, то есть $ t \in [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] $.

3. Решим неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $. Сначала найдем, когда $ \sin t \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $. Равенство $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $ достигается при $ t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ и $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Неравенство $ \sin t \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется на отрезках $ [\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k] $.
Следовательно, исходное неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $ будет выполняться на всей числовой прямой, за исключением этих "запрещенных" отрезков.

4. Найдем "запрещенные" отрезки для $ t $, которые попадают в промежуток $ [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] = [-4.5\pi; 3\pi] $.

• При $ k=1 $: $ [\frac{\pi}{3} + 2\pi; \frac{2\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] $. Отрезок входит в $ [-4.5\pi; 3\pi] $.
• При $ k=0 $: $ [\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] $. Отрезок входит в $ [-4.5\pi; 3\pi] $.
• При $ k=-1 $: $ [\frac{\pi}{3} - 2\pi; \frac{2\pi}{3} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}] $. Отрезок входит в $ [-4.5\pi; 3\pi] $.
• При $ k=-2 $: $ [\frac{\pi}{3} - 4\pi; \frac{2\pi}{3} - 4\pi] = [-\frac{11\pi}{3}; -\frac{10\pi}{3}] $. Отрезок входит в $ [-4.5\pi; 3\pi] $.

Итак, на отрезке $ [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] $ мы должны исключить точки из объединения отрезков: $ [-\frac{11\pi}{3}; -\frac{10\pi}{3}] \cup [-\frac{5\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] \cup [\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] $.

Таким образом, решение для $ t $ на отрезке $ [-\frac{9\pi}{2}; 3\pi] $ является объединением следующих промежутков:
$ t \in [-\frac{9\pi}{2}; -\frac{11\pi}{3}) \cup (-\frac{10\pi}{3}; -\frac{5\pi}{3}) \cup (-\frac{4\pi}{3}; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \cup (\frac{8\pi}{3}; 3\pi] $.

5. Произведем обратную замену $ x = t/3 $. Для этого разделим концы найденных промежутков на 3:

$ x \in [-\frac{9\pi}{6}; -\frac{11\pi}{9}) \cup (-\frac{10\pi}{9}; -\frac{5\pi}{9}) \cup (-\frac{4\pi}{9}; \frac{\pi}{9}) \cup (\frac{2\pi}{9}; \frac{7\pi}{9}) \cup (\frac{8\pi}{9}; \frac{3\pi}{3}] $.

Упрощая дроби, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x \in [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{11\pi}{9}) \cup (-\frac{10\pi}{9}; -\frac{5\pi}{9}) \cup (-\frac{4\pi}{9}; \frac{\pi}{9}) \cup (\frac{2\pi}{9}; \frac{7\pi}{9}) \cup (\frac{8\pi}{9}; \pi] $.