Номер 731, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 731, страница 216.

Условие.

731 Построить график функции:

1) $y = \sin |x|$;

2) $y = |\sin x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для построения графика функции $y = \sin|x|$ нужно проанализировать её свойства.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Алгоритм построения графика функции вида $y = f(|x|)$:

1. Построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
2. Удалить часть графика для $x < 0$.
3. Отразить построенную в пункте 1 часть графика симметрично относительно оси $Oy$ на левую полуплоскость.

Применим этот алгоритм к функции $y = \sin|x|$:

1. Строим график функции $y = \sin x$.
2. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, следовательно, график функции $y = \sin|x|$ совпадает с графиком $y = \sin x$. Оставляем часть синусоиды, лежащую в правой полуплоскости (включая начало координат).
3. Отображаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Поскольку для $x \ge 0$ график начинается из точки $(0,0)$ и идет вверх до $x = \pi/2$, то при отражении для $x \le 0$ график также будет начинаться из точки $(0,0)$ и идти вверх при движении от $x=0$ влево (до $x=-\pi/2$).

В результате получается график, где правая часть ($x \ge 0$) является обычной синусоидой, а левая часть ($x < 0$) — её зеркальным отражением относительно оси $y$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \sin|x|$ нужно построить график функции $y = \sin x$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси ординат.

2) Для построения графика функции $y = |\sin x|$ воспользуемся определением модуля.

По определению, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$. Это значит, что функция $y = |\sin x|$ не может принимать отрицательные значения.

Алгоритм построения графика функции вида $y = |f(x)|$:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Части графика, которые лежат на оси абсцисс ($Ox$) или выше нее, оставить без изменений.
3. Части графика, которые лежат ниже оси абсцисс, отразить симметрично относительно этой оси.

Применим этот алгоритм к функции $y = |\sin x|$:

1. Строим график базовой функции $y = \sin x$ (синусоиду).
2. На интервалах, где $\sin x \ge 0$ (например, $[0, \pi]$, $[2\pi, 3\pi]$ и т.д.), график $y = |\sin x|$ совпадает с графиком $y = \sin x$. Эти участки оставляем без изменений.
3. На интервалах, где $\sin x < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$ и т.д.), мы отражаем "отрицательные полуволны" синусоиды симметрично относительно оси $Ox$.

В итоге получается непрерывная кривая, состоящая из одинаковых положительных "холмов", касающихся оси $Ox$ в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Период этой функции равен $\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = |\sin x|$ нужно построить график функции $y = \sin x$, после чего те его части, которые лежат ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.