Номер 729, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 41. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 729, страница 216.

729 Построить график функции и выяснить её свойства:

1) $y = 1 - \sin x;$

2) $y = 2 + \sin x;$

3) $y = \sin 3x;$

4) $y = 2 \sin x.$

1) $y = 1 - \sin x$

График функции $y = 1 - \sin x$ можно построить путем последовательных преобразований графика основной функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.
2. Отражаем график $y = \sin x$ симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox), чтобы получить график функции $y = -\sin x$.
3. Сдвигаем полученный график $y = -\sin x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy), чтобы получить искомый график $y = 1 - \sin x$.

Свойства функции $y = 1 - \sin x$:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \le -\sin x \le 1$. Прибавляя 1 ко всем частям неравенства, получаем $0 \le 1 - \sin x \le 2$. Таким образом, $E(y) = [0; 2]$.
• Периодичность: Функция является периодической. Преобразования не изменяют основной период функции $\sin x$, который равен $2\pi$. Наименьший положительный период $T = 2\pi$.
• Четность/нечетность: $y(-x) = 1 - \sin(-x) = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $y = 0$ при $1 - \sin x = 0$, то есть $\sin x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений функции $E(y) = [0; 2]$, функция неотрицательна на всей области определения. $y \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. $y > 0$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Максимальное значение $y_{max} = 2$ достигается при $\sin x = -1$, то есть в точках $x_{max} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимальное значение $y_{min} = 0$ достигается при $\sin x = 1$, то есть в точках $x_{min} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Свойства функции $y=1-\sin x$: $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[0; 2]$, период $T=2\pi$, функция общего вида, нули при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2 + \sin x$

График функции $y = 2 + \sin x$ можно получить из графика функции $y = \sin x$ путем сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции $y = 2 + \sin x$:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, прибавляя 2, получаем $1 \le 2 + \sin x \le 3$. Таким образом, $E(y) = [1; 3]$.
• Периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$.
• Четность/нечетность: $y(-x) = 2 + \sin(-x) = 2 - \sin x$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: Уравнение $2 + \sin x = 0$ или $\sin x = -2$ не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений функции $E(y) = [1; 3]$, функция положительна на всей области определения. $y > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Максимальное значение $y_{max} = 3$ достигается при $\sin x = 1$, то есть в точках $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимальное значение $y_{min} = 1$ достигается при $\sin x = -1$, то есть в точках $x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Свойства функции $y=2+\sin x$: $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[1; 3]$, период $T=2\pi$, функция общего вида, нулей нет.

3) $y = \sin 3x$

График функции $y = \sin 3x$ можно получить из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия к оси ординат (оси Oy) в 3 раза.

Свойства функции $y = \sin 3x$:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Периодичность: Функция периодическая. Наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{3}$.
• Четность/нечетность: $y(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -y(x)$. Функция является нечетной.
• Нули функции: $y = 0$ при $\sin 3x = 0$, то есть $3x = \pi k$. Отсюда $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in (\frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на отрезках $[\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Максимальное значение $y_{max} = 1$ достигается в точках $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимальное значение $y_{min} = -1$ достигается в точках $x_{min} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Свойства функции $y=\sin 3x$: $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[-1; 1]$, период $T=\frac{2\pi}{3}$, нечетная, нули при $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 2 \sin x$

График функции $y = 2 \sin x$ можно получить из графика функции $y = \sin x$ путем растяжения от оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза.

Свойства функции $y = 2 \sin x$:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, умножая на 2, получаем $-2 \le 2\sin x \le 2$. Таким образом, $E(y) = [-2; 2]$.
• Периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$.
• Четность/нечетность: $y(-x) = 2 \sin(-x) = -2 \sin x = -y(x)$. Функция является нечетной.
• Нули функции: $y = 0$ при $2 \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Максимальное значение $y_{max} = 2$ достигается при $\sin x = 1$, то есть в точках $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимальное значение $y_{min} = -2$ достигается при $\sin x = -1$, то есть в точках $x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Свойства функции $y=2\sin x$: $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=[-2; 2]$, период $T=2\pi$, нечетная, нули при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.