Номер 727, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 727, страница 216.

Условие.

727 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[ -\frac{3\pi}{2}; \pi \right] $:

1) $ \sin 2x = -\frac{1}{2} $;

2) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\sin 2x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение этого уравнения можно записать в виде совокупности двух серий:

$ \begin{cases} 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \\ 2x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k, \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z} $

$ \begin{cases} 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \\ 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z} $

Отсюда получаем две серии решений для $x$:

$x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$ или $x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2}; \pi]$.

Для первой серии $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{12} + \pi k \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le -\frac{1}{12} + k \le 1$.

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{12}$: $-\frac{3}{2} + \frac{1}{12} \le k \le 1 + \frac{1}{12}$.

$-\frac{18}{12} + \frac{1}{12} \le k \le \frac{12}{12} + \frac{1}{12}$.

$-\frac{17}{12} \le k \le \frac{13}{12}$.

Так как $k$ — целое число, то $k \in \{-1, 0, 1\}$.

Найдем соответствующие корни:

При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{13\pi}{12}$.

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{12}$.

При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$.

Для второй серии $x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{12} + \pi k \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{7}{12} + k \le 1$.

Вычтем из всех частей $\frac{7}{12}$: $-\frac{3}{2} - \frac{7}{12} \le k \le 1 - \frac{7}{12}$.

$-\frac{18}{12} - \frac{7}{12} \le k \le \frac{12}{12} - \frac{7}{12}$.

$-\frac{25}{12} \le k \le \frac{5}{12}$.

Так как $k$ — целое число, то $k \in \{-2, -1, 0\}$.

Найдем соответствующие корни:

При $k=-2$: $x = \frac{7\pi}{12} - 2\pi = -\frac{17\pi}{12}$.

При $k=-1$: $x = \frac{7\pi}{12} - \pi = -\frac{5\pi}{12}$.

При $k=0$: $x = \frac{7\pi}{12}$.

Объединяя все найденные корни, получаем:

Ответ: $-\frac{17\pi}{12}, -\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$.

2) Решим уравнение $\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение этого уравнения можно записать в виде совокупности двух серий:

$ \begin{cases} 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \\ 3x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z} $

$ \begin{cases} 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \\ 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z} $

Отсюда получаем две серии решений для $x$:

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ или $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2}; \pi]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{1}{9} + \frac{2k}{3} \le 1$.

Вычтем из всех частей $\frac{1}{9}$: $-\frac{3}{2} - \frac{1}{9} \le \frac{2k}{3} \le 1 - \frac{1}{9}$.

$-\frac{29}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{8}{9}$.

Умножим все части на $\frac{3}{2}$: $-\frac{29}{12} \le k \le \frac{4}{3}$.

Так как $k$ — целое число, то $k \in \{-2, -1, 0, 1\}$.

Найдем соответствующие корни:

При $k=-2$: $x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{11\pi}{9}$.

При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{9}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$.

Для второй серии $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{3}{2} \le \frac{2}{9} + \frac{2k}{3} \le 1$.

Вычтем из всех частей $\frac{2}{9}$: $-\frac{3}{2} - \frac{2}{9} \le \frac{2k}{3} \le 1 - \frac{2}{9}$.

$-\frac{31}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{7}{9}$.

Умножим все части на $\frac{3}{2}$: $-\frac{31}{12} \le k \le \frac{7}{6}$.

Так как $k$ — целое число, то $k \in \{-2, -1, 0, 1\}$.

Найдем соответствующие корни:

При $k=-2$: $x = \frac{2\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{10\pi}{9}$.

При $k=-1$: $x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9}$.

При $k=0$: $x = \frac{2\pi}{9}$.

При $k=1$: $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{9}$.

Объединяя и упорядочивая все найденные корни, получаем:

Ответ: $-\frac{11\pi}{9}, -\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9}, -\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9}$.