Номер 736, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 736, страница 222.

Условие.

736 Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $(- \pi; 2\pi)$:

1) $\operatorname{tg} x = 1;$

2) $\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$

3) $\operatorname{tg} x = - \sqrt{3};$

4) $\operatorname{tg} x = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения каждой задачи найдем общую формулу для корней уравнения вида $ \operatorname{tg} x = a $, которая имеет вид $ x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Затем, подставляя различные целочисленные значения $ n $, найдем все корни, удовлетворяющие условию $ -\pi < x < 2\pi $.

1) Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = 1 $.

Общее решение уравнения дается формулой $ x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n $, то есть $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $ (-\pi; 2\pi) $. Для этого решим двойное неравенство:
$ -\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi $
Разделим все части неравенства на $ \pi $:
$ -1 < \frac{1}{4} + n < 2 $
Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей:
$ -1 - \frac{1}{4} < n < 2 - \frac{1}{4} $
$ -\frac{5}{4} < n < \frac{7}{4} $
$ -1.25 < n < 1.75 $

Целочисленные значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n = -1, 0, 1 $.
Найдем соответствующие значения $ x $:
При $ n = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} $.
При $ n = 0: x = \frac{\pi}{4} $.
При $ n = 1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} $.
Все найденные корни принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} $.

2) Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = \sqrt{3} $.

Общее решение уравнения: $ x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n $, то есть $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни из промежутка $ (-\pi; 2\pi) $, решив неравенство:
$ -\pi < \frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi $
$ -1 < \frac{1}{3} + n < 2 $
$ -1 - \frac{1}{3} < n < 2 - \frac{1}{3} $
$ -\frac{4}{3} < n < \frac{5}{3} $
$ -1.33... < n < 1.66... $

Целочисленные значения $ n $: $ n = -1, 0, 1 $.
Соответствующие значения $ x $:
При $ n = -1: x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} $.
При $ n = 0: x = \frac{\pi}{3} $.
При $ n = 1: x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} $.

3) Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} $.

Общее решение уравнения: $ x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n $, то есть $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни из промежутка $ (-\pi; 2\pi) $:
$ -\pi < -\frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi $
$ -1 < -\frac{1}{3} + n < 2 $
$ -1 + \frac{1}{3} < n < 2 + \frac{1}{3} $
$ -\frac{2}{3} < n < \frac{7}{3} $
$ -0.66... < n < 2.33... $

Целочисленные значения $ n $: $ n = 0, 1, 2 $.
Соответствующие значения $ x $:
При $ n = 0: x = -\frac{\pi}{3} $.
При $ n = 1: x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} $.
При $ n = 2: x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $.

4) Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -1 $.

Общее решение уравнения: $ x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n $, то есть $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни из промежутка $ (-\pi; 2\pi) $:
$ -\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi $
$ -1 < -\frac{1}{4} + n < 2 $
$ -1 + \frac{1}{4} < n < 2 + \frac{1}{4} $
$ -\frac{3}{4} < n < \frac{9}{4} $
$ -0.75 < n < 2.25 $

Целочисленные значения $ n $: $ n = 0, 1, 2 $.
Соответствующие значения $ x $:
При $ n = 0: x = -\frac{\pi}{4} $.
При $ n = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $.
При $ n = 2: x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $.