Номер 740, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 740, страница 222.

Условие.

740 Решить неравенство:

1) $tg x > 4$;

2) $tg x \leq 5$;

3) $tg x < -4$;

4) $tg x \geq -5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) tg x > 4

Область определения функции тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей и периодической с периодом $\pi$.

Для решения неравенства $\text{tg } x > 4$ сначала найдем решение на одном периоде, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем значение $x$, для которого $\text{tg } x = 4$. Это $x = \text{arctg } 4$.

Так как функция $\text{tg } x$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, неравенство $\text{tg } x > 4$ будет выполняться для всех $x$, которые больше $\text{arctg } 4$, но меньше правой границы интервала, $\frac{\pi}{2}$ (где тангенс не определен).

Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение имеет вид: $\text{arctg } 4 < x < \frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность функции, добавляем к границам интервала $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\text{arctg } 4 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x ≤ 5

Рассмотрим неравенство $\text{tg } x \le 5$ на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем корень уравнения $\text{tg } x = 5$, который равен $x = \text{arctg } 5$.

Поскольку функция $\text{tg } x$ возрастает, неравенство $\text{tg } x \le 5$ будет выполняться для всех $x$ от левой границы интервала до $x = \text{arctg } 5$ включительно. Левая граница $x = -\frac{\pi}{2}$ не включается, так как тангенс в этой точке не определен.

Решение на основном интервале: $-\frac{\pi}{2} < x \le \text{arctg } 5$.

Обобщим решение для всех действительных чисел, прибавив период $\pi n$ к границам.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \text{arctg } 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) tg x < -4

Рассмотрим неравенство $\text{tg } x < -4$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем корень уравнения $\text{tg } x = -4$, который равен $x = \text{arctg}(-4)$.

В силу возрастания функции $\text{tg } x$, неравенство $\text{tg } x < -4$ будет справедливо для всех $x$, которые меньше $\text{arctg}(-4)$. Нижней границей является левая граница интервала, $x = -\frac{\pi}{2}$, которая не включается в решение.

Решение на основном интервале: $-\frac{\pi}{2} < x < \text{arctg}(-4)$.

С учетом периодичности функции тангенс, общее решение будет:

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \text{arctg}(-4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x ≥ -5

Рассмотрим неравенство $\text{tg } x \ge -5$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем корень уравнения $\text{tg } x = -5$, который равен $x = \text{arctg}(-5)$.

Так как функция $\text{tg } x$ возрастает, неравенство $\text{tg } x \ge -5$ будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $\text{arctg}(-5)$. Верхней границей является правая граница интервала, $x = \frac{\pi}{2}$, которая не включается в решение, так как тангенс в этой точке не определен.

Решение на основном интервале: $\text{arctg}(-5) \le x < \frac{\pi}{2}$.

Добавляя период $\pi n$, получаем общее решение.

Ответ: $\text{arctg}(-5) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.