Номер 747, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 747, страница 222.

Условие.

747 1) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x;$

2) $y = \sin x \operatorname{ctg} x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана функция $y = \tg x \cdot \ctg x$.

Для анализа этой функции сначала определим ее область определения (ОДЗ). Функция $\tg x$ определена, когда ее знаменатель, $\cos x$, не равен нулю. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\ctg x$ определена, когда ее знаменатель, $\sin x$, не равен нулю. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы исходная функция $y = \tg x \cdot \ctg x$ была определена, оба условия должны выполняться одновременно. Объединяя эти два ограничения, получаем, что $x$ не может быть равен ни одному значению, кратному $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения мы можем упростить выражение, используя тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ или выразив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$

Следовательно, функция представляет собой константу $y=1$, но она определена не для всех $x$. Графиком является прямая линия $y=1$ с "выколотыми" точками в тех местах, где $x$ кратен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: Функция $y=1$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана функция $y = \sin x \cdot \ctg x$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Множитель $\sin x$ определен для всех действительных чисел $x$. Множитель $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определен только тогда, когда его знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$.

Условие $\sin x \neq 0$ выполняется, когда $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть область определения исходной функции.

Теперь упростим выражение для функции на ее области определения:

$y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Так как на ОДЗ $\sin x \neq 0$, мы можем сократить $\sin x$ в числителе и знаменателе:

$y = \cos x$

Таким образом, исходная функция тождественна функции $y = \cos x$ для всех $x$, кроме точек вида $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$, в которых она не определена. Графиком функции является косинусоида с "выколотыми" точками при $x=..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$

Ответ: Функция $y=\cos x$ при $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.