Номер 749, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 749, страница 222.

Условие.

749 Решить неравенство:

1) $ \text{tg}^2 x < 1; $

2) $ \text{tg}^2 x \ge 3; $

3) $ \text{ctg} x \ge -1; $

4) $ \text{ctg} x > \sqrt{3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решить неравенство $ \tg^2 x < 1 $.

Данное неравенство равносильно неравенству $ |\tg x| < 1 $, что, в свою очередь, эквивалентно двойному неравенству $ -1 < \tg x < 1 $.

Рассмотрим функцию $ y = \tg x $. Ее период равен $ \pi $. Найдем решения на одном из промежутков, например, на $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.

Сначала решим уравнения:

• $ \tg x = -1 $ при $ x = -\frac{\pi}{4} $.
• $ \tg x = 1 $ при $ x = \frac{\pi}{4} $.

Функция $ \tg x $ является возрастающей на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, условие $ -1 < \tg x < 1 $ выполняется при $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} $.

Учитывая периодичность тангенса, общее решение неравенства имеет вид:

$ -\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Решить неравенство $ \tg^2 x \ge 3 $.

Это неравенство равносильно $ |\tg x| \ge \sqrt{3} $. Оно распадается на два неравенства:

$ \tg x \ge \sqrt{3} $ или $ \tg x \le -\sqrt{3} $.

Решим каждое неравенство по отдельности, учитывая, что область определения тангенса $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Для первого неравенства $ \tg x \ge \sqrt{3} $:

Находим, что $ \tg x = \sqrt{3} $ при $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Так как функция $ \tg x $ возрастает на своем периоде, а в точке $ x = \frac{\pi}{2} $ имеет разрыв (вертикальную асимптоту), то решение будет $ \frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Для второго неравенства $ \tg x \le -\sqrt{3} $:

Находим, что $ \tg x = -\sqrt{3} $ при $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Учитывая левую асимптоту $ x = -\frac{\pi}{2} $ на основном периоде, получаем решение $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ [\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n], n \in \mathbb{Z} $.

3) Решить неравенство $ \ctg x \ge -1 $.

Рассмотрим функцию $ y = \ctg x $. Ее период равен $ \pi $. Область определения: $ x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} $. На каждом интервале вида $ (\pi n; \pi(n+1)) $ функция $ \ctg x $ является убывающей.

Решим уравнение $ \ctg x = -1 $. На основном периоде $ (0; \pi) $ решением является $ x = \frac{3\pi}{4} $. Общее решение уравнения: $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \ctg x $ убывает на интервале $ (0; \pi) $, неравенство $ \ctg x \ge -1 $ будет выполняться для тех $ x $, которые лежат левее точки $ x = \frac{3\pi}{4} $ и правее асимптоты $ x = 0 $. То есть, $ 0 < x \le \frac{3\pi}{4} $.

Добавляя периодичность, получаем общее решение:

$ \pi n < x \le \frac{3\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi n < x \le \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) Решить неравенство $ \ctg x > \sqrt{3} $.

Функция $ y = \ctg x $ имеет период $ \pi $ и является убывающей на интервалах своей области определения $ x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Сначала решим уравнение $ \ctg x = \sqrt{3} $. На основном периоде $ (0; \pi) $ решением является $ x = \frac{\pi}{6} $. Общее решение уравнения: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку функция $ \ctg x $ убывает, то неравенство $ \ctg x > \sqrt{3} $ будет выполняться для значений $ x $, которые меньше $ \frac{\pi}{6} $, но больше левой асимптоты $ x = 0 $ (на периоде $ (0; \pi) $). Таким образом, $ 0 < x < \frac{\pi}{6} $.

С учетом периодичности, общее решение неравенства:

$ \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.