Номер 751, страница 226 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 751, страница 226.

Условие.

751 1) $ \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} $;

2) $ \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) $ и $ \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сравнить значения $\arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ и $\arccos{\frac{1}{\sqrt{5}}}$, необходимо использовать свойство монотонности функции арккосинус.

Функция $y = \arccos(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

Сначала сравним аргументы арккосинусов: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Поскольку $3 < 5$, и функция квадратного корня возрастающая для положительных чисел, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Так как оба числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ положительные, то для обратных им величин неравенство изменит знак на противоположный: $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Теперь, применяя свойство убывания функции арккосинус, получаем, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из того, что $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$, следует: $\arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}} < \arccos{\frac{1}{\sqrt{5}}}$.

Ответ: $\arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}} < \arccos{\frac{1}{\sqrt{5}}}$.

2) Чтобы сравнить значения $\arccos{(-\frac{4}{5})}$ и $\arccos{(-\frac{1}{3})}$, мы также воспользуемся свойством убывания функции $y = \arccos(x)$.

Сначала сравним аргументы арккосинусов: $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{1}{3}$.
Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 15:
$-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{12}{15}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{5}{15}$

Теперь сравним полученные дроби. Так как $-12 < -5$, то $-\frac{12}{15} < -\frac{5}{15}$. Следовательно, $-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3}$.

Так как функция арккосинус является убывающей, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из того, что $-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3}$, следует: $\arccos{(-\frac{4}{5})} > \arccos{(-\frac{1}{3})}$.

Ответ: $\arccos{(-\frac{4}{5})} > \arccos{(-\frac{1}{3})}$.