Номер 758, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 758, страница 227.

Условие.

758 Найти область определения функции:

1) $y = \sin x + \cos x;$

2) $y = \sin x + \tan x;$

3) $y = \sqrt{\sin x};$

4) $y = \sqrt{\cos x};$

5) $y = \frac{2x}{2 \sin x - 1};$

6) $y = \frac{\cos x}{2 \sin^2 x - \sin x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \sin x + \cos x$

Функции $y_1 = \sin x$ и $y_2 = \cos x$ определены для всех действительных чисел. Область определения суммы функций является пересечением их областей определения. Следовательно, данная функция определена для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in R$ (все действительные числа).

2) $y = \sin x + \tg x$

Функция представляет собой сумму двух функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = \tg x$. Функция $y_1 = \sin x$ определена для всех $x \in R$. Функция $y_2 = \tg x$ определена для всех $x$, при которых $\cos x \neq 0$. Решением уравнения $\cos x = 0$ являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Таким образом, область определения исходной функции — это все действительные числа, кроме указанных.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

3) $y = \sqrt{\sin x}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство $\sin x \ge 0$. Функция синуса неотрицательна в первой и второй координатных четвертях. Решением этого неравенства является объединение промежутков, которое можно записать в виде $2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in Z$.

4) $y = \sqrt{\cos x}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство $\cos x \ge 0$. Функция косинуса неотрицательна в первой и четвертой координатных четвертях. Решением этого неравенства является объединение промежутков, которое можно записать в виде $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in Z$.

5) $y = \frac{2x}{2 \sin x - 1}$

Функция является дробью, поэтому её область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Запишем условие: $2 \sin x - 1 \neq 0$. Отсюда следует, что $2 \sin x \neq 1$, или $\sin x \neq \frac{1}{2}$. Решениями уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ являются $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

6) $y = \frac{\cos x}{2 \sin^2 x - \sin x}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $2 \sin^2 x - \sin x = 0$. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \sin x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $\sin x = 0$, откуда $x = \pi k, k \in Z$.
2. $2 \sin x - 1 = 0$, откуда $\sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Область определения функции — это все действительные числа, за исключением найденных значений.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in Z$ и $x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.