Номер 760, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 7. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 760, страница 227.

760 Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1) $y = x^2 + \cos x$;

2) $y = x^3 - \sin x$;

3) $y = (1 - x^2) \cos x$;

4) $y = (1 + \sin x) \sin x$.

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x)$ необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции) для всех $x$ из области определения функции. Область определения для всех данных функций $D(y) = \mathbb{R}$, что является симметричным множеством относительно начала координат.

1) $y = x^2 + \cos x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^2 + \cos x$. Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^2 + \cos(-x)$

Используя свойства степенной функции с чётным показателем $((-x)^{2n} = x^{2n})$ и чётность функции косинус $(\cos(-x) = \cos x)$, получаем:

$f(-x) = x^2 + \cos x$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $y = x^3 - \sin x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^3 - \sin x$. Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Используя свойства степенной функции с нечётным показателем $((-x)^{2n+1} = -x^{2n+1})$ и нечётность функции синус $(\sin(-x) = -\sin x)$, получаем:

$f(-x) = -x^3 - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x)$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

3) $y = (1 - x^2) \cos x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = (1 - x^2) \cos x$. Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = (1 - (-x)^2) \cos(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$, то:

$f(-x) = (1 - x^2) \cos x$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $y = (1 + \sin x) \sin x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = (1 + \sin x) \sin x$. Для удобства раскроем скобки: $f(x) = \sin x + \sin^2 x$. Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = \sin(-x) + (\sin(-x))^2$

Используя свойство нечётности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и свойство квадрата $(a)^2 = (-a)^2$, получаем:

$f(-x) = -\sin x + (-\sin x)^2 = -\sin x + \sin^2 x$

Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \sin x + \sin^2 x$

$-f(x) = -(\sin x + \sin^2 x) = -\sin x - \sin^2 x$

Видно, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Например, при $x = \frac{\pi}{2}$: $f(\frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} + \sin^2\frac{\pi}{2} = 1 + 1^2 = 2$.

$f(-\frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2} + \sin^2\frac{\pi}{2} = -1 + 1^2 = 0$.

Поскольку $f(-\frac{\pi}{2}) \neq f(\frac{\pi}{2})$ и $f(-\frac{\pi}{2}) \neq -f(\frac{\pi}{2})$, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.