Номер 764, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 764, страница 227.

Условие.

764 Используя графики, найти число корней уравнения:

1) $ \cos x = x^2 $;

2) $ \sin x = \frac{x}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) cos x = x²

Для того чтобы найти число корней уравнения $ \cos x = x^2 $, построим графики функций $ y = \cos x $ и $ y = x^2 $ в одной системе координат. Число корней уравнения будет равно числу точек пересечения этих графиков.

1. График функции $ y = \cos x $ — это косинусоида. Это периодическая функция с периодом $ 2\pi $, её область значений $ [-1; 1] $. Функция является чётной, то есть её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. График функции $ y = x^2 $ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат. Эта функция также является чётной, её график симметричен относительно оси OY. Область значений $ [0; +\infty) $.

Проанализируем графики. Поскольку значения функции $ y = \cos x $ не превышают 1, точки пересечения могут существовать только при условии $ x^2 \le 1 $, то есть при $ -1 \le x \le 1 $. Также, поскольку $ x^2 \ge 0 $, то нас интересуют только те значения $ x $, для которых $ \cos x \ge 0 $.

Рассмотрим поведение функций для $ x \ge 0 $. При $ x=0 $, имеем $ \cos(0) = 1 $, а $ 0^2=0 $. Точки пересечения нет. На промежутке $ [0, 1] $ функция $ y = \cos x $ непрерывно убывает от 1 до $ \cos(1) $ (примерно 0,54), а функция $ y = x^2 $ непрерывно возрастает от 0 до 1. Так как в начале промежутка ($ x=0 $) значение косинуса больше значения параболы ($ 1 > 0 $), а в конце ($ x=1 $) значение параболы больше значения косинуса ($ 1 > \cos 1 $), графики должны пересечься ровно один раз при $ x \in (0, 1) $.

Так как обе функции, $ y = \cos x $ и $ y = x^2 $, являются чётными, их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если есть точка пересечения с абсциссой $ x_0 > 0 $, то обязательно будет и симметричная ей точка пересечения с абсциссой $ -x_0 $.

Таким образом, мы имеем две точки пересечения: одну для $ x > 0 $ и одну для $ x < 0 $.

Ответ: 2 корня.

2) sin x = x/2

Чтобы найти число корней уравнения $ \sin x = \frac{x}{2} $, построим графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \frac{x}{2} $ в одной системе координат. Число корней уравнения будет равно числу точек пересечения этих графиков.

1. График функции $ y = \sin x $ — это синусоида. Это периодическая функция с периодом $ 2\pi $, её область значений $ [-1; 1] $. Функция является нечётной, то есть её график симметричен относительно начала координат.

2. График функции $ y = \frac{x}{2} $ — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $ \frac{1}{2} $. Эта функция также является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

Проанализируем графики. Очевидно, что $ x=0 $ является корнем уравнения, так как $ \sin(0) = 0 $ и $ \frac{0}{2} = 0 $. Это первая точка пересечения — начало координат.

Рассмотрим поведение функций при $ x > 0 $. Поскольку значения функции $ y = \sin x $ не могут быть больше 1, точки пересечения могут существовать только при условии $ \frac{x}{2} \le 1 $, то есть при $ x \le 2 $. В точке $ x=0 $ производная функции $ y=\sin x $ равна $ \cos(0) = 1 $, а производная функции $ y=\frac{x}{2} $ равна $ \frac{1}{2} $. Так как $ 1 > \frac{1}{2} $, график синуса вблизи нуля "растёт" быстрее, чем прямая, и для малых положительных $x$ график $ y=\sin x $ располагается выше прямой $ y=\frac{x}{2} $.

При $ x > 2 $ значения функции $ y = \frac{x}{2} $ становятся больше 1, в то время как $ \sin x \le 1 $, поэтому пересечений при $ x > 2 $ быть не может. На интервале $ (0, \pi) $ (где $ \pi \approx 3.14 $) функция $ \sin x $ сначала возрастает до 1, а затем убывает до 0, в то время как прямая $ y=\frac{x}{2} $ монотонно возрастает. Так как вблизи нуля $ \sin x > \frac{x}{2} $, а при $ x=\pi $ имеем $ \sin \pi = 0 $, а $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, то $ \sin \pi < \frac{\pi}{2} $. Следовательно, на интервале $ (0, \pi) $ должна быть одна точка пересечения. Это единственная точка пересечения для $ x>0 $.

Поскольку обе функции, $ y = \sin x $ и $ y = \frac{x}{2} $, являются нечётными, их графики симметричны относительно начала координат. Это означает, что если есть точка пересечения при $ x_0 > 0 $, то обязательно будет и симметричная ей точка пересечения при $ -x_0 $.

Таким образом, мы имеем одну точку пересечения в начале координат ($ x=0 $), одну при $ x>0 $ и, в силу симметрии, одну при $ x<0 $. Всего получается три точки пересечения.

Ответ: 3 корня.