Номер 762, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 762, страница 227.

Условие.

762 Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку $ [0; 3\pi] $:

1) $ 2 \cos x + \sqrt{3} = 0; $

2) $ \sqrt{3} - \sin x = \sin x; $

3) $ 3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3}; $

4) $ \cos x + 1 = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$.

Сначала выразим $\cos x$ из уравнения:
$2 \cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то общее решение:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого рассмотрим две серии корней и подставим различные целые значения $n$.

Для первой серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$: $x = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0; 3\pi]$.
При $n=1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $\frac{17\pi}{6} = 2\frac{5}{6}\pi$, что меньше $3\pi$.
При $n=2$: $x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}$. Этот корень больше $3\pi$, следовательно, не подходит.

Для второй серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как он отрицательный.
При $n=1$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0; 3\pi]$.
При $n=2$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$. Этот корень больше $3\pi$ ($\frac{19}{6} > \frac{18}{6}=3$), следовательно, не подходит.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$.

2) Решим уравнение $\sqrt{3} - \sin x = \sin x$.

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $\sin x$:
$\sqrt{3} = 2 \sin x$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Чтобы найти корни на промежутке $[0; 3\pi]$, рассмотрим случаи для четных и нечетных $n$.
1. Если $n$ - четное число, т.е. $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$:
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку ($ \frac{7\pi}{3} < 3\pi $).
2. Если $n$ - нечетное число, т.е. $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$:
$x = -\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
При $k=0$: $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку ($ \frac{8\pi}{3} < 3\pi $).

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

3) Решим уравнение $3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$.

Выразим $\operatorname{tg} x$:
$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение: $x = \operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:
$0 \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le 3\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{6} + n \le 3$
Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:
$-\frac{1}{6} \le n \le 3 - \frac{1}{6}$
$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{17}{6}$
Так как $n$ - целое число, то $n$ может принимать значения $0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$.

4) Решим уравнение $\cos x + 1 = 0$.

Выразим $\cos x$:
$\cos x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, общее решение которого:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$, решив неравенство:
$0 \le \pi + 2\pi n \le 3\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le 1 + 2n \le 3$
Вычтем 1:
$-1 \le 2n \le 2$
Разделим на 2:
$-0.5 \le n \le 1$
Целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству: $n=0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=0$: $x = \pi$.
При $n=1$: $x = \pi + 2\pi = 3\pi$.

Ответ: $\pi, 3\pi$.