Номер 757, страница 227 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 43. Обратные тригонометрические функции - номер 757, страница 227.

Условие.

757 Доказать, что график функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно точки $C(a, b)$, необходимо показать, что для любой точки $(a+h, f(a+h))$ на графике, симметричная ей точка $(a-h, 2b - f(a+h))$ также принадлежит графику. Это равносильно проверке тождества $f(a-h) + f(a+h) = 2b$ для всех значений из области определения, для которых обе части имеют смысл.

Другой, эквивалентный способ, заключается в переносе системы координат так, чтобы начало новой системы совпало с точкой симметрии $(a, b)$. В новой системе координат $(x', y')$ с соотношениями $x' = x-a$ и $y' = y-b$ уравнение функции примет вид $y' = f(x'+a) - b$. Симметрия относительно точки $(a, b)$ в старой системе координат означает симметрию относительно начала координат $(0,0)$ в новой системе. Это, в свою очередь, означает, что новая функция $g(x') = f(x'+a) - b$ должна быть нечетной, то есть должно выполняться равенство $g(-x') = -g(x')$.

Воспользуемся вторым подходом.

В нашем случае дана функция $f(x) = \arccos x$ и точка симметрии $C(a, b) = (0; \frac{\pi}{2})$.

Составим вспомогательную функцию $g(x)$, которая представляет собой функцию $f(x)$ в системе координат с центром в точке $C$. Для удобства будем использовать переменную $x$ вместо $x'$.

$g(x) = f(x+0) - \frac{\pi}{2} = \arccos x - \frac{\pi}{2}$.

Теперь необходимо доказать, что функция $g(x)$ является нечетной.

1. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения $\arccos x$, то есть $x \in [-1, 1]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля, что является необходимым условием для нечетности функции.

2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$.

Найдем $g(-x)$: $g(-x) = \arccos(-x) - \frac{\pi}{2}$.

Воспользуемся основным свойством арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

Подставим это тождество в выражение для $g(-x)$: $g(-x) = (\pi - \arccos x) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \arccos x$.

Теперь найдем выражение для $-g(x)$: $-g(x) = -(\arccos x - \frac{\pi}{2}) = -\arccos x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \arccos x$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $g(-x) = -g(x)$.

Поскольку оба условия выполнены, функция $g(x) = \arccos x - \frac{\pi}{2}$ является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат. Следовательно, график исходной функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что график функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $(0; \frac{\pi}{2})$.