Номер 3, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Проверь себя к главе 7 - номер 3, страница 228.

Условие.

3 Построить схематически график функции $y = \operatorname{tg} x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Найти значения $x$, при которых $\operatorname{tg} x = 0$, $\operatorname{tg} x < 0$, $\operatorname{tg} x > 0$ на данном отрезке.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Построение схематически графика функции $y = \operatorname{tg} x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

1. Свойства функции. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является периодической с основным периодом $\pi$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках, называемых точками разрыва, график функции имеет вертикальные асимптоты.

2. Асимптоты на отрезке. На заданном отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ находятся следующие вертикальные асимптоты: $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. Поскольку на границах отрезка функция не определена, построение графика будет производиться на интервале $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

3. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox). Для этого решим уравнение $\operatorname{tg} x = 0$. Его решениями являются $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. На рассматриваемом отрезке это точки $x = -\pi$ (при $k=-1$) и $x = 0$ (при $k=0$).

4. Построение. График состоит из двух непрерывных ветвей, каждая из которых является возрастающей:
• На интервале $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ функция возрастает от $-\infty$ (при $x \to -\frac{3\pi}{2}^+$) до $+\infty$ (при $x \to -\frac{\pi}{2}^-$). Эта ветвь пересекает ось Ox в точке $(-\pi, 0)$.
• На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция возрастает от $-\infty$ (при $x \to -\frac{\pi}{2}^+$) до $+\infty$ (при $x \to \frac{\pi}{2}^-$). Эта ветвь пересекает ось Ox в точке $(0, 0)$, то есть проходит через начало координат.

Ответ: График функции $y=\operatorname{tg} x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ состоит из двух возрастающих ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-\frac{3\pi}{2}$, $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{\pi}{2}$. График пересекает ось абсцисс в точках $x=-\pi$ и $x=0$.

$\operatorname{tg} x = 0$

Чтобы найти значения $x$, при которых тангенс равен нулю, решаем уравнение $\operatorname{tg} x = 0$. Общее решение этого уравнения: $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь выберем те решения, которые принадлежат отрезку $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\frac{3\pi}{2} \le k\pi \le \frac{\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1.5 \le k \le 0.5$
Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются $k = -1$ и $k = 0$.
Если $k = -1$, то $x = -1 \cdot \pi = -\pi$.
Если $k = 0$, то $x = 0 \cdot \pi = 0$.

Ответ: $x = -\pi, x = 0$.

$\operatorname{tg} x < 0$

Значения $x$, при которых тангенс отрицателен, соответствуют на графике интервалам, где он расположен ниже оси Ox. Исходя из построенного графика, это происходит на интервалах от вертикальной асимптоты до нуля функции.
На заданном отрезке это следующие интервалы:
1. От асимптоты $x = -\frac{3\pi}{2}$ до нуля $x = -\pi$.
2. От асимптоты $x = -\frac{\pi}{2}$ до нуля $x = 0$.
Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\pi) \cup (-\frac{\pi}{2}; 0)$.

$\operatorname{tg} x > 0$

Значения $x$, при которых тангенс положителен, соответствуют на графике интервалам, где он расположен выше оси Ox. Исходя из построенного графика, это происходит на интервалах от нуля функции до вертикальной асимптоты.
На заданном отрезке это следующие интервалы:
1. От нуля $x = -\pi$ до асимптоты $x = -\frac{\pi}{2}$.
2. От нуля $x = 0$ до асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$.
Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \cup (0; \frac{\pi}{2})$.