Номер 769, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 769, страница 228.

Условие.

769 Решить графически уравнение:

1) $\cos x = |x|$;

2) $\sin x = - |x + 1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) cos x = |x|

Чтобы решить графически уравнение $ \cos x = |x| $, построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = |x| $.

1. График функции $ y = \cos x $ — это стандартная косинусоида. Это чётная периодическая функция с периодом $ 2\pi $ и областью значений $ [-1, 1] $.

2. График функции $ y = |x| $ — это "галочка", состоящая из двух лучей, выходящих из начала координат: $ y = x $ при $ x \ge 0 $ и $ y = -x $ при $ x < 0 $. Вершина графика находится в точке $ (0, 0) $. Область значений — $ [0, +\infty) $.

Построим графики этих функций. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $ x $) точек пересечения графиков.

Из графика видно, что существует две точки пересечения. Обе функции, $ y = \cos x $ и $ y = |x| $, являются чётными, поэтому их графики симметричны относительно оси OY. Следовательно, если $ x_0 $ — корень уравнения, то и $ -x_0 $ также является корнем.

Одна точка пересечения находится в первой четверти (где $ x > 0 $), а вторая, симметричная ей, — во второй четверти (где $ x < 0 $). Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: Уравнение имеет два корня.

2) sin x = -|x + 1|

Чтобы решить графически уравнение $ \sin x = -|x + 1| $, построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -|x + 1| $.

1. График функции $ y = \sin x $ — это стандартная синусоида, нечётная периодическая функция с периодом $ 2\pi $ и областью значений $ [-1, 1] $.

2. График функции $ y = -|x + 1| $ получается из графика $ y = |x| $ смещением на 1 единицу влево по оси OX и последующим отражением относительно оси OX. График представляет собой "перевёрнутую галочку" с вершиной в точке $ (-1, 0) $. Область значений — $ (-\infty, 0] $.

Построим графики. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения.

Из графика видно, что существует две точки пересечения.

Пересечение областей значений функций $ y \in [-1, 1] $ и $ y \in (-\infty, 0] $ даёт нам отрезок $ y \in [-1, 0] $. Это означает, что решения могут существовать только для тех $ x $, для которых $ \sin x \le 0 $.

Одна точка пересечения находится на интервале $ (-1, 0) $, где уравнение имеет вид $ \sin x = -(x+1) $. Вторая точка — на интервале $ (-2, -1) $, где уравнение принимает вид $ \sin x = x+1 $.

Ответ: Уравнение имеет два корня.