Номер 772, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 772, страница 228.

Условие.

772 Найти все значения $x$, при которых функция $y = \text{tg } 2x - 1$ принимает отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти все значения $x$, при которых функция $y = \tg 2x - 1$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $$ \tg 2x - 1 < 0 $$ Перенесем $-1$ в правую часть неравенства, изменив знак: $$ \tg 2x < 1 $$

Для решения данного тригонометрического неравенства введем временную переменную. Пусть $t = 2x$. Тогда неравенство примет вид: $$ \tg t < 1 $$

Известно, что функция $z = \tg t$ является периодической с основным периодом $\pi$. Также известно, что $\tg t = 1$ при $t = \frac{\pi}{4}$. Область определения функции тангенса — все действительные числа, кроме $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На одном из промежутков области определения, например на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, функция тангенса строго возрастает. Таким образом, неравенство $\tg t < 1$ на этом промежутке будет выполняться при $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции тангенса, общее решение неравенства $\tg t < 1$ можно записать в виде: $$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 2x$: $$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < 2x < \frac{\pi}{4} + \pi k $$

Чтобы найти значения $x$, разделим все части этого двойного неравенства на 2: $$ \frac{-\frac{\pi}{2} + \pi k}{2} < x < \frac{\frac{\pi}{4} + \pi k}{2} $$ $$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.