Номер 770, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 770, страница 228.

Условие.

770 Найти нули функции:

1) $y = \cos^2 x - \cos x$;

2) $y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y=0$ для каждой из заданных функций.

1)

Дана функция $y = \cos^2 x - \cos x$.

Приравниваем функцию к нулю:

$\cos^2 x - \cos x = 0$

Выносим общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два простейших тригонометрических уравнения:

а) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба набора решений, получаем все нули функции.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана функция $y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x$.

Приравниваем функцию к нулю:

$\cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0$

Перенесем $\sin 3x$ в правую часть уравнения:

$\cos x - \cos 2x = \sin 3x$

Применим формулу разности косинусов к левой части: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\cos x - \cos 2x = -2 \sin\frac{x+2x}{2} \sin\frac{x-2x}{2} = -2 \sin\frac{3x}{2} \sin(-\frac{x}{2}) = 2 \sin\frac{3x}{2} \sin\frac{x}{2}$

Применим формулу синуса двойного угла к правой части, представив $3x$ как $2 \cdot \frac{3x}{2}$:

$\sin 3x = 2 \sin\frac{3x}{2} \cos\frac{3x}{2}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2 \sin\frac{3x}{2} \sin\frac{x}{2} = 2 \sin\frac{3x}{2} \cos\frac{3x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $2 \sin\frac{3x}{2}$ за скобки:

$2 \sin\frac{3x}{2} \sin\frac{x}{2} - 2 \sin\frac{3x}{2} \cos\frac{3x}{2} = 0$

$2 \sin\frac{3x}{2} \left( \sin\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} \right) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\sin\frac{3x}{2} = 0$

$\frac{3x}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = \cos\frac{3x}{2}$

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin\frac{x}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2})$

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A=B+2\pi n$ или $A=\pi-B+2\pi n$.

Случай 1:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Случай 2:

$\frac{x}{2} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pi - \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi m$

$\frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$

$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$

$x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Эту серию корней можно записать в более удобном виде, заменив $-m$ на $p$ ($p \in \mathbb{Z}$), так как $m$ пробегает все целые числа: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p, p \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p, p \in \mathbb{Z}$.