Номер 744, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 744, страница 222.

Условие.

744 Построить график функции и выяснить её свойства:

1) $y = \text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$;

2) $y = \text{tg} \frac{x}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим функцию $y = \tg(x + \frac{\pi}{4})$.

Построение графика:

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \tg(x)$ с помощью преобразования. Преобразование вида $f(x+a)$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс. В нашем случае $a = \frac{\pi}{4} > 0$, что означает сдвиг графика $y = \tg(x)$ влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

При этом сдвиге:

• Вертикальные асимптоты $y = \tg(x)$, которые находились в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, смещаются влево и теперь их уравнения $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции $y = \tg(x)$, которые были в точках $x = \pi k$, смещаются влево и теперь находятся в точках $x = \pi k - \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Свойства функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{4})$:

• Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{4} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
• Область значений: Множество всех действительных чисел.
  $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая. Так как для $y=\tg(x)$ основной период равен $\pi$, то и для сдвинутой функции основной период $T = \pi$.
• Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = \tg(-x + \frac{\pi}{4}) \neq \pm y(x)$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): $y = 0$ при $x + \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{4})$ получается сдвигом графика $y=\tg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево. Основные свойства: область определения $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, область значений $(-\infty; +\infty)$, период $\pi$, нули при $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, возрастает на интервалах $(-\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

---

2)

Рассмотрим функцию $y = \tg(\frac{x}{2})$.

Построение графика:

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \tg(x)$ с помощью преобразования. Преобразование вида $f(kx)$ соответствует горизонтальному сжатию или растяжению. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$. Так как $|k| < 1$, это растяжение графика вдоль оси абсцисс (Ox) в $\frac{1}{k} = 2$ раза.

При этом растяжении:

• Вертикальные асимптоты $y = \tg(x)$, которые находились в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, "растягиваются" от оси Oy в 2 раза, и теперь их уравнения $x = 2(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции $y = \tg(x)$, которые были в точках $x = \pi k$, "растягиваются" от оси Oy в 2 раза и теперь находятся в точках $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Свойства функции $y = \tg(\frac{x}{2})$:

• Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
• Область значений: Множество всех действительных чисел.
  $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая. Основной период $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Четность/нечетность: Функция является нечетной, так как область определения симметрична относительно нуля и $y(-x) = \tg(\frac{-x}{2}) = -\tg(\frac{x}{2}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): $y = 0$ при $\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg(\frac{x}{2})$ получается растяжением графика $y=\tg(x)$ от оси Oy в 2 раза. Основные свойства: область определения $x \neq \pi + 2\pi k$, область значений $(-\infty; +\infty)$, период $2\pi$, функция нечетная, нули при $x = 2\pi k$, возрастает на интервалах $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$, асимптоты $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.