Номер 739, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 739, страница 222.

Условие.

739 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π]:

1) $tg x = 3$;

2) $tg x = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) tg x = 3

Сначала найдем общее решение уравнения $ \tg x = 3 $.
Общее решение имеет вид: $ x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь нам нужно найти все значения $ n $, при которых корни будут принадлежать отрезку $ [0; 3\pi] $.
Для этого решим двойное неравенство:
$ 0 \le \operatorname{arctg}(3) + \pi n \le 3\pi $
Вычтем $ \operatorname{arctg}(3) $ из всех частей неравенства:
$ -\operatorname{arctg}(3) \le \pi n \le 3\pi - \operatorname{arctg}(3) $
Разделим все части на $ \pi $:
$ -\frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} \le n \le \frac{3\pi - \operatorname{arctg}(3)}{\pi} $
$ -\frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} \le n \le 3 - \frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} $
Оценим значение $ \operatorname{arctg}(3) $. Мы знаем, что $ \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \approx 1.73 $ и $ \tg(\frac{\pi}{2}) $ не определен (стремится к бесконечности). Так как $ 3 > \sqrt{3} $, то $ \frac{\pi}{3} < \operatorname{arctg}(3) < \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, $ \frac{1}{3} < \frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} < \frac{1}{2} $.
Тогда неравенство для $ n $ можно оценить так:
$ -0.5 < -\frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} < -0.33 $
$ 3 - 0.5 < 3 - \frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} < 3 - 0.33 \implies 2.5 < 3 - \frac{\operatorname{arctg}(3)}{\pi} < 2.67 $
Таким образом, $ -0.5 \lesssim n \lesssim 2.67 $.
Целочисленные значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n=0, n=1, n=2 $.
Найдем соответствующие корни, подставляя найденные значения $ n $ в общую формулу:
При $ n=0 $: $ x_1 = \operatorname{arctg}(3) + 0 \cdot \pi = \operatorname{arctg}(3) $
При $ n=1 $: $ x_2 = \operatorname{arctg}(3) + 1 \cdot \pi = \operatorname{arctg}(3) + \pi $
При $ n=2 $: $ x_3 = \operatorname{arctg}(3) + 2 \cdot \pi = \operatorname{arctg}(3) + 2\pi $
Все три корня принадлежат заданному отрезку $ [0; 3\pi] $.
Ответ: $ \operatorname{arctg}(3); \operatorname{arctg}(3) + \pi; \operatorname{arctg}(3) + 2\pi $.

2) tg x = -2

Найдем общее решение уравнения $ \tg x = -2 $.
Общее решение: $ x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Используя свойство нечетности арктангенса $ \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a) $, перепишем решение:
$ x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi k $
Найдем все значения $ k $, при которых корни принадлежат отрезку $ [0; 3\pi] $. Составим и решим двойное неравенство:
$ 0 \le -\operatorname{arctg}(2) + \pi k \le 3\pi $
Прибавим $ \operatorname{arctg}(2) $ ко всем частям неравенства:
$ \operatorname{arctg}(2) \le \pi k \le 3\pi + \operatorname{arctg}(2) $
Разделим все части на $ \pi $:
$ \frac{\operatorname{arctg}(2)}{\pi} \le k \le \frac{3\pi + \operatorname{arctg}(2)}{\pi} $
$ \frac{\operatorname{arctg}(2)}{\pi} \le k \le 3 + \frac{\operatorname{arctg}(2)}{\pi} $
Оценим значение $ \operatorname{arctg}(2) $. Так как $ \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \approx 1.73 $, а $ 2 > \sqrt{3} $, то $ \frac{\pi}{3} < \operatorname{arctg}(2) < \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, $ \frac{1}{3} < \frac{\operatorname{arctg}(2)}{\pi} < \frac{1}{2} $.
Тогда неравенство для $ k $ можно оценить так:
$ 0.33 \lesssim k \lesssim 3 + 0.5 $
$ 0.33 \lesssim k \lesssim 3.5 $
Целочисленные значения $ k $, удовлетворяющие этому неравенству: $ k=1, k=2, k=3 $.
Найдем соответствующие корни:
При $ k=1 $: $ x_1 = -\operatorname{arctg}(2) + \pi = \pi - \operatorname{arctg}(2) $
При $ k=2 $: $ x_2 = -\operatorname{arctg}(2) + 2\pi = 2\pi - \operatorname{arctg}(2) $
При $ k=3 $: $ x_3 = -\operatorname{arctg}(2) + 3\pi = 3\pi - \operatorname{arctg}(2) $
Все три корня принадлежат отрезку $ [0; 3\pi] $, так как $ 0 < \operatorname{arctg}(2) < \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $ \pi - \operatorname{arctg}(2); 2\pi - \operatorname{arctg}(2); 3\pi - \operatorname{arctg}(2) $.