Номер 737, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 737, страница 222.

Условие.

737 Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку $(-\pi, 2\pi)$:

1) $tg x \ge 1$;

2) $tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $tg x < -1$;

4) $tg x \ge -\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\tg x \ge 1$

Сначала решим неравенство в общем виде. Соответствующее уравнение $\tg x = 1$ имеет решения $x = \arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция тангенса является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Следовательно, общее решение неравенства $\tg x \ge 1$ имеет вид:
$\frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi, 2\pi)$, перебирая целые значения $n$:

• При $n = -1$: $\frac{\pi}{4} - \pi \le x < \frac{\pi}{2} - \pi \implies -\frac{3\pi}{4} \le x < -\frac{\pi}{2}$. Этот промежуток принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 0$: $\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 1$: $\frac{\pi}{4} + \pi \le x < \frac{\pi}{2} + \pi \implies \frac{5\pi}{4} \le x < \frac{3\pi}{2}$. Этот промежуток принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 2$: $\frac{\pi}{4} + 2\pi \le x < \frac{\pi}{2} + 2\pi$. Этот промежуток лежит правее $2\pi$.

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{2}) \cup [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.

---

2) $\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим неравенство в общем виде. Уравнение $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет решения $x = \arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение неравенства $\tg x < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg(a) + \pi n$.

Следовательно, общее решение неравенства $\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения из промежутка $(-\pi, 2\pi)$:

• При $n = -1$: $-\frac{3\pi}{2} < x < -\frac{5\pi}{6}$. Пересечение с интервалом $(-\pi, 2\pi)$ дает $(-\pi, -\frac{5\pi}{6})$.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{6}$. Этот интервал полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 1$: $\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$. Этот интервал полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 2$: $\frac{3\pi}{2} < x < \frac{13\pi}{6}$. Пересечение с интервалом $(-\pi, 2\pi)$ дает $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\pi, -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

---

3) $\tg x < -1$

Решим неравенство в общем виде. Уравнение $\tg x = -1$ имеет решения $x = \arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение неравенства $\tg x < -1$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения из промежутка $(-\pi, 2\pi)$:

• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4}$. Этот интервал полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 1$: $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$. Этот интервал полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 2$: $\frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{4}$. Этот интервал полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.

При $n=-1$ и $n=3$ получаемые интервалы лежат вне $(-\pi, 2\pi)$. В промежутке $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ тангенс принимает только положительные значения, поэтому там решений нет.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4})$.

---

4) $\tg x \ge -\sqrt{3}$

Решим неравенство в общем виде. Уравнение $\tg x = -\sqrt{3}$ имеет решения $x = \arctg(-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение неравенства $\tg x \ge a$ имеет вид $\arctg(a) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Следовательно, общее решение неравенства $\tg x \ge -\sqrt{3}$:
$-\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения из промежутка $(-\pi, 2\pi)$:

• При $n = -1$: $-\frac{4\pi}{3} \le x < -\frac{\pi}{2}$. Пересечение с интервалом $(-\pi, 2\pi)$ дает $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 1$: $\frac{2\pi}{3} \le x < \frac{3\pi}{2}$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi, 2\pi)$.
• При $n = 2$: $\frac{5\pi}{3} \le x < \frac{5\pi}{2}$. Пересечение с интервалом $(-\pi, 2\pi)$ дает $[\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$.