Номер 704, страница 207 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 704, страница 207.

Условие.

704 Определить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1) $y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x}$;

3) $y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$;

4) $y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$;

5) $y = 3^{\cos x}$;

6) $y = x |\sin x| \sin^3 x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$.
Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $1 + \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq -1$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно начала координат (если $x_0 \in D(f)$, то и $-x_0 \in D(f)$).
Проверка на чётность/нечётность: Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$.
Так как функция косинус является чётной, то есть $\cos(-x) = \cos x$, мы получаем:
$f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

2) $y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x}$. Упростим выражение: $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$. Таким образом, $f(x) = \frac{|\sin x|}{1 + \cos 2x}$.
Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 + \cos 2x \neq 0$, что означает $\cos 2x \neq -1$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $2x = \pi + 2\pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно начала координат.
Проверка на чётность/нечётность: Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{|\sin(-x)|}{1 + \cos(2(-x))}$.
Используем свойства тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Также $|-a| = |a|$.
$f(-x) = \frac{|-\sin x|}{1 + \cos(2x)} = \frac{|\sin x|}{1 + \cos 2x} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

3) $y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x}$.
Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно начала координат.
Проверка на чётность/нечётность: Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\cos(2(-x)) - (-x)^2}{\sin(-x)}$.
Используем свойства функций: $\cos(-2x) = \cos(2x)$ (чётная), $(-x)^2 = x^2$ (чётная), $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная).
$f(-x) = \frac{\cos 2x - x^2}{-\sin x} = - \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, данная функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x}$.
Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно начала координат.
Проверка на чётность/нечётность: Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^3 + \sin(2(-x))}{\cos(-x)}$.
Используем свойства функций: $(-x)^3 = -x^3$ (нечётная), $\sin(-2x) = -\sin(2x)$ (нечётная), $\cos(-x) = \cos x$ (чётная).
$f(-x) = \frac{-x^3 - \sin 2x}{\cos x} = - \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, данная функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

5) $y = 3^{\cos x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 3^{\cos x}$.
Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$, так как $\cos x$ определен для всех $x$, и показательная функция $3^u$ определена для всех $u$. Таким образом, $D(f) = \mathbb{R}$, что является симметричным множеством.
Проверка на чётность/нечётность: Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = 3^{\cos(-x)}$.
Так как функция косинус является чётной, $\cos(-x) = \cos x$, получаем:
$f(-x) = 3^{\cos x} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

6) $y = x |\sin x| \sin^3 x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x |\sin x| \sin^3 x$.
Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(f) = \mathbb{R}$, что является симметричным множеством.
Проверка на чётность/нечётность: Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x) |\sin(-x)| (\sin(-x))^3$.
Используем свойства синуса и модуля: $\sin(-x) = -\sin x$ и $|-a| = |a|$.
$f(-x) = (-x) |-\sin x| (-\sin x)^3 = (-x) |\sin x| (-1)^3 (\sin^3 x) = (-x) |\sin x| (-\sin^3 x)$.
$f(-x) = (-1) \cdot (-1) \cdot (x |\sin x| \sin^3 x) = x |\sin x| \sin^3 x = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.