Номер 701, страница 207 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 701, страница 207.

Условие.

701 1) $y = \sin x + x;$

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2;$

3) $y = 3 - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sin (\pi - x);$

4) $y = \frac{1}{2} \cos 2x \sin \left(\frac{3}{2} \pi - 2x\right) + 3;$

5) $y = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x;$

6) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \sin x + x$

Чтобы определить четность функции $f(x) = \sin x + x$, найдем $f(-x)$. Область определения функции — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

$f(-x) = \sin(-x) + (-x)$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = -\sin x - x = -(\sin x + x) = -f(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

2) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$

Пусть $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - x^2$. Сначала упростим выражение, используя формулы приведения.

$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$.

Таким образом, $f(x) = \sin x - x^2$. Область определения — все действительные числа.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) - (-x)^2 = -\sin x - x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \sin x - x^2$.

$-f(x) = -(\sin x - x^2) = -\sin x + x^2$.

Видно, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

3) $y = 3 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sin(\pi - x)$

Пусть $f(x) = 3 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sin(\pi - x)$. Упростим выражение с помощью формул приведения.

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$.

$\sin(\pi - x) = \sin x$.

Подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$f(x) = 3 - (-\sin x)(\sin x) = 3 + \sin^2 x$.

Область определения — все действительные числа. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 3 + \sin^2(-x) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

4) $y = \frac{1}{2} \cos 2x \sin\left(\frac{3}{2}\pi - 2x\right) + 3$

Пусть $f(x) = \frac{1}{2} \cos 2x \sin\left(\frac{3}{2}\pi - 2x\right) + 3$. Упростим выражение, используя формулы приведения.

$\sin\left(\frac{3}{2}\pi - 2x\right) = -\cos(2x)$.

Подставим в исходную функцию:

$f(x) = \frac{1}{2} \cos 2x (-\cos 2x) + 3 = -\frac{1}{2}\cos^2(2x) + 3$.

Область определения — все действительные числа. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos^2(2(-x)) + 3 = -\frac{1}{2}\cos^2(-2x) + 3$.

Поскольку косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$), то $\cos(-2x) = \cos(2x)$, и $\cos^2(-2x) = \cos^2(2x)$.

Следовательно, $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos^2(2x) + 3 = f(x)$.

Функция является четной.

Ответ: функция четная.

5) $y = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x$

Пусть $f(x) = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x$. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} + \sin(-x)\cos(-x)$.

Используя свойства тригонометрических функций ($\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$), получаем:

$f(-x) = \frac{-\sin x}{-x} + (-\sin x)(\cos x) = \frac{\sin x}{x} - \sin x \cos x$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x$.

$-f(x) = -\left(\frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x\right) = -\frac{\sin x}{x} - \sin x \cos x$.

Видно, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Функция представляет собой сумму четной функции $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ и нечетной функции $h(x)=\sin x \cos x$, поэтому она не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

6) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$

Пусть $f(x) = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$. Область определения — все действительные числа.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \frac{1 + \cos(-x)}{2}$.

Поскольку $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$ (так как косинус — четная функция), получаем:

$f(-x) = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это также можно увидеть, заметив, что функция является суммой двух четных функций: $g(x)=x^2$ и $h(x)=\frac{1 + \cos x}{2}$.

Ответ: функция четная.