Номер 697, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 697, страница 204.

Условие.

697 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 3 \cos 2x - 4 \sin 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции вида $y = a \cos(kx) + b \sin(kx)$ используется метод введения вспомогательного угла, который позволяет преобразовать выражение к виду $y = R \sin(kx + \alpha)$ или $y = R \cos(kx \pm \alpha)$.

Исходная функция: $y = 3 \cos 2x - 4 \sin 2x$.

В данном случае коэффициенты при тригонометрических функциях равны $a = 3$ и $b = -4$.

Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем исходное выражение, вынеся 5 за скобки:

$y = 5 \left( \frac{3}{5} \cos 2x - \frac{4}{5} \sin 2x \right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ таким образом, чтобы его косинус и синус были равны коэффициентам в скобках. Пусть $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Подставим $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в выражение для $y$:

$y = 5 (\cos \alpha \cos 2x - \sin \alpha \sin 2x)$.

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

Применив эту формулу, получаем:

$y = 5 \cos(2x + \alpha)$.

Область значений функции косинус, то есть $\cos(2x + \alpha)$, находится в промежутке от $-1$ до $1$ включительно, независимо от значения аргумента $(2x + \alpha)$:

$-1 \le \cos(2x + \alpha) \le 1$.

Чтобы найти область значений функции $y$, умножим все части этого двойного неравенства на 5:

$5 \cdot (-1) \le 5 \cos(2x + \alpha) \le 5 \cdot 1$.

$-5 \le y \le 5$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно $-5$, а наибольшее значение равно $5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5, наибольшее значение функции равно 5.