Номер 688, страница 200 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 688, страница 200.

Условие.

688 Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin^{10} x + \cos^{10} x = a$ имеет корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы данное уравнение имело корни, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(x) = \sin^{10} x + \cos^{10} x$. Найдем это множество значений.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$ для любого действительного $x$, то новая переменная $t$ будет изменяться в пределах отрезка $[0, 1]$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде функции от $t$:

$a = f(x) = (\sin^2 x)^5 + (\cos^2 x)^5 = t^5 + (1-t)^5$.

Задача свелась к нахождению множества значений функции $g(t) = t^5 + (1-t)^5$ на отрезке $t \in [0, 1]$. Для этого найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

Найдем производную функции $g(t)$:

$g'(t) = \frac{d}{dt}(t^5 + (1-t)^5) = 5t^4 + 5(1-t)^4 \cdot (-1) = 5t^4 - 5(1-t)^4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$g'(t) = 0$

$5t^4 - 5(1-t)^4 = 0$

$t^4 = (1-t)^4$

Поскольку $t \in [0, 1]$, обе части уравнения $t$ и $1-t$ неотрицательны. Следовательно, можно извлечь корень четвертой степени:

$t = 1 - t$

$2t = 1$

$t = \frac{1}{2}$

Мы нашли единственную критическую точку $t = 1/2$, которая принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$, вычислим ее значения в критической точке $t = 1/2$ и на концах отрезка $t = 0$ и $t = 1$.

При $t=0$:

$g(0) = 0^5 + (1-0)^5 = 0 + 1 = 1$.

При $t=1$:

$g(1) = 1^5 + (1-1)^5 = 1 + 0 = 1$.

При $t=1/2$:

$g(1/2) = (\frac{1}{2})^5 + (1-\frac{1}{2})^5 = (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^5 = 2 \cdot \frac{1}{2^5} = 2 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции равно $1$, а наименьшее равно $1/16$.

Так как функция $f(x)$ непрерывна, ее множество значений — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения. Таким образом, множество значений функции $f(x) = \sin^{10} x + \cos^{10} x$ есть отрезок $[\frac{1}{16}, 1]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет корни при всех $a$, принадлежащих этому отрезку.

Ответ: $a \in [\frac{1}{16}, 1]$.