Номер 681, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 6. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 681, страница 199.

681 1) $\sin 2x + \cos 2x = 2 \tg x + 1;$

2) $\sin 2x - \cos 2x = \tg x.$

1) $sin(2x) + cos(2x) = 2tg(x) + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует $tg(x)$, необходимо, чтобы $cos(x) \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся формулами двойного угла, выраженными через тангенс угла $x$:
$sin(2x) = \frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}$
$cos(2x) = \frac{1-tg^2(x)}{1+tg^2(x)}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Для удобства введем замену $t = tg(x)$.

$\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2t + 1$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} = 2t + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы решить уравнение:

$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} - (2t + 1) = 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2t + 1 - t^2 - (2t+1)(1+t^2)}{1+t^2} = 0$

Знаменатель $1+t^2$ всегда больше нуля, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю:

$2t + 1 - t^2 - (2t + 2t^3 + 1 + t^2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2t + 1 - t^2 - 2t - 2t^3 - 1 - t^2 = 0$

$-2t^3 - 2t^2 = 0$

Вынесем общий множитель $-2t^2$ за скобки:

$-2t^2(t+1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t^2 = 0 \implies t = 0$
$t+1 = 0 \implies t = -1$

Теперь выполним обратную замену $t = tg(x)$:

1. Если $tg(x) = 0$, то решением является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

2. Если $tg(x) = -1$, то решением является $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти значения также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

---

2) $sin(2x) - cos(2x) = tg(x)$

Область допустимых значений та же: $cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Снова используем формулы двойного угла через тангенс и замену $t = tg(x)$.

$\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} = t$

Упростим левую часть:

$\frac{2t - 1 + t^2}{1+t^2} = t$

Умножим обе части на $1+t^2$, так как это выражение всегда положительно:

$t^2 + 2t - 1 = t(1+t^2)$

$t^2 + 2t - 1 = t + t^3$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$t^3 - t^2 - t + 1 = 0$

Сгруппируем члены для разложения на множители:

$(t^3 - t^2) - (t - 1) = 0$

$t^2(t - 1) - 1(t - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(t-1)$:

$(t^2 - 1)(t - 1) = 0$

Разложим $t^2-1$ по формуле разности квадратов:

$(t - 1)(t + 1)(t - 1) = 0$

$(t - 1)^2(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t - 1 = 0 \implies t = 1$
$t + 1 = 0 \implies t = -1$

Выполним обратную замену $t = tg(x)$:

1. Если $tg(x) = 1$, то решением является $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tg(x) = -1$, то решением является $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ. Эти два решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. (Эти серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$).