Номер 674, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 674, страница 199.

Условие.

674 1) $sin^2 x - cos x cos 3x = \frac{1}{4}$;

2) $sin 3x = 3 sin x$;

3) $3 cos 2x - 7 sin x = 4$;

4) $1 + cos x + cos 2x = 0$;

5) $5 sin 2x + 4 cos^3 x - 8 cos x = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin^2 x - \cos x \cos 3x = \frac{1}{4}$
Используем формулу понижения степени для синуса $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ и формулу преобразования произведения косинусов в сумму $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Получаем: $\cos x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(3x - x) + \cos(3x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x)$.
Подставляем в исходное уравнение:
$\frac{1 - \cos 2x}{2} - \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:
$2(1 - \cos 2x) - 2(\cos 2x + \cos 4x) = 1$
$2 - 2\cos 2x - 2\cos 2x - 2\cos 4x = 1$
$1 - 4\cos 2x - 2\cos 4x = 0$
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$:
$1 - 4\cos 2x - 2(2\cos^2 2x - 1) = 0$
$1 - 4\cos 2x - 4\cos^2 2x + 2 = 0$
$-4\cos^2 2x - 4\cos 2x + 3 = 0$
$4\cos^2 2x + 4\cos 2x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$:
$4t^2 + 4t - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 3x = 3 \sin x$
Применим формулу тройного угла для синуса: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Подставляем в уравнение:
$3\sin x - 4\sin^3 x = 3\sin x$
$-4\sin^3 x = 0$
$\sin^3 x = 0$
$\sin x = 0$
$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3 \cos 2x - 7 \sin x = 4$
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции.
$3(1 - 2\sin^2 x) - 7\sin x = 4$
$3 - 6\sin^2 x - 7\sin x - 4 = 0$
$-6\sin^2 x - 7\sin x - 1 = 0$
$6\sin^2 x + 7\sin x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:
$6t^2 + 7t + 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.
$t_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$.
$t_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Оба корня подходят. Возвращаемся к замене:
1) $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{1}{6} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 + \cos x + \cos 2x = 0$
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
$1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0$
$2\cos^2 x + \cos x = 0$
Выносим $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2\cos x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $5 \sin 2x + 4 \cos^3 x - 8 \cos x = 0$
Применим формулу двойного угла для синуса $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$5(2\sin x \cos x) + 4 \cos^3 x - 8 \cos x = 0$
$10\sin x \cos x + 4 \cos^3 x - 8 \cos x = 0$
Выносим общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x (5\sin x + 2\cos^2 x - 4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $5\sin x + 2\cos^2 x - 4 = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$5\sin x + 2(1 - \sin^2 x) - 4 = 0$
$5\sin x + 2 - 2\sin^2 x - 4 = 0$
$-2\sin^2 x + 5\sin x - 2 = 0$
$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$. Этот корень не подходит, так как $|t| \le 1$.
Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.