Номер 669, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 669, страница 198.

Условие.

669 1) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0;$

2) $2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение $3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Сначала проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получаем $3(1) + 0 - 0 = 0$, то есть $3=0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 \tan^2 x + \tan x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь вернемся к замене $t = \tan x$ и найдем $x$:

Для первого корня: $\tan x = \frac{2}{3}$

$x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для второго корня: $\tan x = -1$

$x = \arctan(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид $2(1) + 0 - 0 = 0$, то есть $2=0$, что является ложным. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x + 3 \tan x - 2 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Возвращаемся к переменной $x$:

Для первого корня: $\tan x = \frac{1}{2}$

$x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для второго корня: $\tan x = -2$

$x = \arctan(-2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, что можно также записать как $x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.