Номер 671, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 671, страница 198.

Условие.

671 1) $ \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 1 + \cos 2x; $

2) $ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos 2x$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя формулы сложения для синуса и косинуса:

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Применяя эти формулы, получаем:

$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$.

$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$.

Теперь сложим эти два выражения:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = \cos x$.

Далее преобразуем правую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему:

$\cos x = 2\cos^2 x$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$2\cos^2 x - \cos x = 0$.

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x(2\cos x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \sin 2x$.

Преобразуем левую часть уравнения. Это можно сделать, раскрыв синус и косинус разности, или с помощью метода вспомогательного угла.

Способ 1: Формулы разности

$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \sin x\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$.

$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \cos x\cos\frac{\pi}{4} + \sin x\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$.

Складывая эти выражения, получаем:

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \sqrt{2}\sin x$.

Способ 2: Метод вспомогательного угла

Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно преобразовать в $\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$.

Для левой части $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$, где $\alpha = x-\frac{\pi}{4}$, $a=1$, $b=1$.

$\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Угол $\phi$ находится из условий $\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $\phi = \frac{\pi}{4}$.

Тогда левая часть равна $\sqrt{2}\sin\left(\left(x-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$.

Итак, уравнение принимает вид:

$\sqrt{2}\sin x = \sin 2x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

$\sqrt{2}\sin x = 2\sin x\cos x$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\sin x$:

$2\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x = 0$

$\sin x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$.

Получаем два случая:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.