Номер 672, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 672, страница 198.

Условие.

672 1) $ \cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4}; $

2) $ \sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \frac{1}{4}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $ \cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4} $.

Вынесем общий множитель $ \sin x \cos x $ за скобки в левой части уравнения:

$ \sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{4} $

Воспользуемся формулами двойного угла:

• $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) $
• $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$ \frac{1}{2} \sin(2x) \cdot \cos(2x) = \frac{1}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ \sin(2x) \cos(2x) = \frac{1}{2} $

Снова применим формулу синуса двойного угла для выражения $ \sin(2x) \cos(2x) $. Пусть $ y = 2x $, тогда $ \sin y \cos y = \frac{1}{2} \sin(2y) $. В нашем случае это будет $ \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin(4x) $.

Получаем уравнение:

$ \frac{1}{2} \sin(4x) = \frac{1}{2} $

$ \sin(4x) = 1 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \frac{1}{4} $.

Вынесем общий множитель $ \sin x \cos x $ за скобки:

$ \sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \frac{1}{4} $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Уравнение упрощается до вида:

$ \sin x \cos x \cdot 1 = \frac{1}{4} $

$ \sin x \cos x = \frac{1}{4} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) $.

Подставим это в наше уравнение:

$ \frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ \sin(2x) = \frac{1}{2} $

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$ 2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:

$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.