Номер 668, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 668, страница 198.

Условие.

Решить уравнение (668—675).

668 1) $\sin 2x + 2 \cos 2x = 1;$

2) $\cos 2x + 3 \sin 2x = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin 2x + 2 \cos 2x = 1$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени относительно $\sin 2x$ и $\cos 2x$, приведенным к виду $a \sin y + b \cos y = c$. Один из стандартных методов решения таких уравнений — использование универсальной тригонометрической подстановки.

Воспользуемся формулами выражения синуса и косинуса двойного угла через тангенс одинарного угла. Пусть $t = \tan x$. Тогда:

$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Данная подстановка возможна, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Случай, когда $x$ принимает эти значения, необходимо проверить отдельно.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{2t}{1+t^2} + 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда положительно, так как $t^2 \ge 0$):

$2t + 2(1-t^2) = 1(1+t^2)$

$2t + 2 - 2t^2 = 1 + t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену $t = \tan x$:

1. Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan x = -\frac{1}{3}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, не являются ли корнями значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $2x = \pi + 2\pi k$.

$\sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$

Подставим эти значения в исходное уравнение: $0 + 2(-1) = -2$. Так как $-2 \neq 1$, эти значения не являются решениями.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 2x + 3 \sin 2x = 3$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, используя универсальную тригонометрическую подстановку $t = \tan x$.

$\sin 2x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подстановка верна при условии $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Этот случай проверим отдельно в конце.

Подставляем выражения в уравнение:

$\frac{1-t^2}{1+t^2} + 3 \cdot \frac{2t}{1+t^2} = 3$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$1 - t^2 + 6t = 3(1+t^2)$

$1 - t^2 + 6t = 3 + 3t^2$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$4t^2 - 6t + 2 = 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним обратную замену $t = \tan x$:

1. Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan x = \frac{1}{2}$, то $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим исключенный случай $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Для этих значений $2x = \pi + 2\pi k$.

$\cos(\pi + 2\pi k) = -1$

$\sin(\pi + 2\pi k) = 0$

Подставим в исходное уравнение: $-1 + 3(0) = -1$. Так как $-1 \neq 3$, эти значения не являются решениями.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.