Номер 670, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 670, страница 198.

Условие.

670 1) $1 + 2 \sin x = \sin 2x + 2 \cos x;$

2) $1 + 3 \cos x = \sin 2x + 3 \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 + 2 \sin x = \sin 2x + 2 \cos x$

Первым шагом воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + 2 \sin x - (2 \sin x \cos x + 2 \cos x) = 0$

$1 + 2 \sin x - 2 \sin x \cos x - 2 \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые. Один из способов группировки — объединить члены с $2\sin x$ и $2\cos x$, а также $1$ и $-2\sin x \cos x$. Для удобства заменим $1$ на $\sin^2 x + \cos^2 x$ согласно основному тригонометрическому тождеству.

$(\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x) + (2 \sin x - 2 \cos x) = 0$

Выражение в первой скобке является формулой квадрата разности: $(\sin x - \cos x)^2$.

Получаем уравнение:

$(\sin x - \cos x)^2 + 2(\sin x - \cos x) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки:

$(\sin x - \cos x)((\sin x - \cos x) + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $\sin x - \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = \cos x$.

Заметим, что $\cos x$ не может быть равен нулю, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство не выполняется. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\text{tg } x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - \cos x + 2 = 0$

$\sin x - \cos x = -2$

Для решения этого уравнения можно использовать метод введения вспомогательного угла. Левая часть уравнения $\sin x - \cos x$ может быть преобразована к виду $R\sin(x-\alpha)$. Максимальное значение выражения $A\sin x + B\cos x$ равно $\sqrt{A^2+B^2}$. В нашем случае это $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.

Поскольку область значений функции $y = \sin x - \cos x$ есть $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, а $-\sqrt{2} \approx -1.414$, то равенство $\sin x - \cos x = -2$ невозможно. Уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются корни из случая (а).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + 3 \cos x = \sin 2x + 3 \sin x$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$1 + 3 \cos x - 2 \sin x \cos x - 3 \sin x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(1 - 2 \sin x \cos x) + (3 \cos x - 3 \sin x) = 0$

Как и в предыдущей задаче, заменим $1$ на $\sin^2 x + \cos^2 x$. Выражение в первой скобке превращается в квадрат разности:

$(\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x) + 3(\cos x - \sin x) = 0$

$(\cos x - \sin x)^2 + 3(\cos x - \sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$ за скобки:

$(\cos x - \sin x)((\cos x - \sin x) + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

Разделив на $\cos x$ (который не равен нулю), получаем:

$\text{tg } x = 1$

Отсюда находим серию решений:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - \sin x + 3 = 0$

$\cos x - \sin x = -3$

Область значений функции $y = \cos x - \sin x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Так как $-3$ не принадлежит этому отрезку (поскольку $-3 < -\sqrt{2}$), данное уравнение не имеет решений.

В результате, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.