Номер 676, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 676, страница 199.

Условие.

Вычислить (676—677).

676 1) $ \sin \left( \arcsin \frac{1}{3} \right); $

2) $ \sin \left( \arcsin \left( -\frac{1}{4} \right) \right); $

3) $ \sin \left( \pi - \arcsin \frac{3}{4} \right); $

4) $ \sin \left( \pi + \arcsin \frac{2}{3} \right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение имеет вид $\sin(\arcsin(a))$. По определению арксинуса, для любого числа $a$, такого что $|a| \le 1$, справедливо равенство $\sin(\arcsin a) = a$. В данном случае $a = \frac{1}{3}$. Так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, то $\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\sin(\arcsin a) = a$ для $|a| \le 1$. В данном случае $a = -\frac{1}{4}$. Так как $-1 \le -\frac{1}{4} \le 1$, то $\sin\left(\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin \frac{3}{4}$. Тогда выражение принимает вид:$\sin\left(\pi - \arcsin \frac{3}{4}\right) = \sin\left(\arcsin \frac{3}{4}\right)$.Теперь, используя основное свойство арксинуса $\sin(\arcsin a) = a$ для $|a| \le 1$, и так как $-1 \le \frac{3}{4} \le 1$, получаем:$\sin\left(\arcsin \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Для решения этого примера воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin \frac{2}{3}$. Тогда выражение принимает вид:$\sin\left(\pi + \arcsin \frac{2}{3}\right) = -\sin\left(\arcsin \frac{2}{3}\right)$.Используя основное свойство арксинуса $\sin(\arcsin a) = a$ для $|a| \le 1$, и так как $-1 \le \frac{2}{3} \le 1$, получаем:$-\sin\left(\arcsin \frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.