Номер 675, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 6. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 675, страница 199.

675 1) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0;$

2) $\cos x - \cos 3x = \cos 2x - \cos 4x.$

1) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0$

$2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0$

$2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\sin 2x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$2x = k\pi$, где $k \in Z$ (Z - множество целых чисел).

$x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in Z$.

2. $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2n\pi$, где $n \in Z$.

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$, $n \in Z$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$, где $k, n \in Z$.

2) $\cos x - \cos 3x = \cos 2x - \cos 4x$

Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ к обеим частям уравнения.

Для левой части:

$\cos x - \cos 3x = -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = -2\sin 2x \sin(-x) = 2\sin 2x \sin x$

Для правой части:

$\cos 2x - \cos 4x = -2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = -2\sin 3x \sin(-x) = 2\sin 3x \sin x$

Приравняем полученные выражения:

$2\sin 2x \sin x = 2\sin 3x \sin x$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2\sin 2x \sin x - 2\sin 3x \sin x = 0$

$2\sin x (\sin 2x - \sin 3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$

$x = k\pi$, где $k \in Z$.

2. $\sin 2x - \sin 3x = 0 \Rightarrow \sin 2x = \sin 3x$

Равенство $\sin \alpha = \sin \beta$ выполняется, если $\alpha = \beta + 2n\pi$ или $\alpha = \pi - \beta + 2n\pi$, где $n \in Z$.

а) $2x = 3x + 2n\pi$

$-x = 2n\pi \Rightarrow x = -2n\pi$. Поскольку $n$ - любое целое число, это эквивалентно $x = 2m\pi$ ($m \in Z$). Эта серия корней является подмножеством серии $x = k\pi$ (при четных $k$).

б) $2x = \pi - 3x + 2n\pi$

$5x = \pi + 2n\pi$

$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2n\pi}{5}$, где $n \in Z$.

Объединяя все найденные серии корней, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = k\pi$; $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2n\pi}{5}$, где $k, n \in Z$.