Номер 677, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 677, страница 199.

Условие.

677 1) $ \mathrm{tg}\left(\pi+\mathrm{arctg}\frac{5}{4}\right); $

2) $ \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\,2\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\operatorname{tg}(\pi + \operatorname{arctg}\frac{5}{4})$

Для решения этого примера воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период функции тангенс равен $\pi$, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.
В данном случае в качестве угла $\alpha$ выступает выражение $\operatorname{arctg}\frac{5}{4}$.
Применим формулу:
$\operatorname{tg}(\pi + \operatorname{arctg}\frac{5}{4}) = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}\frac{5}{4})$.
Далее, по определению арктангенса, для любого числа $x$ выполняется равенство $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) = x$.
Следовательно,
$\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}\frac{5}{4}) = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$.

2) $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}2)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.
В нашем выражении в качестве угла $\alpha$ выступает $\operatorname{arctg}2$.
Применяя формулу приведения, получаем:
$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}2) = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}2)$.
Как и в предыдущем примере, используем основное тождество для арктангенса: $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) = x$.
В результате получаем:
$\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}2) = 2$.
Ответ: $2$.