Номер 684, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 684, страница 199.

Условие.

684 $|\cos x| - \cos 3x = \sin 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данного уравнения, содержащего модуль $|\cos x|$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\cos x \ge 0$

Это условие выполняется для всех $x$, принадлежащих промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс, $|\cos x| = \cos x$, и исходное уравнение принимает вид:

$\cos x - \cos 3x = \sin 2x$

Используем формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ для левой части уравнения:

$-2 \sin\frac{x+3x}{2} \sin\frac{x-3x}{2} = \sin 2x$

$-2 \sin(2x) \sin(-x) = \sin 2x$

Поскольку $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$2 \sin 2x \sin x = \sin 2x$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$2 \sin 2x \sin x - \sin 2x = 0$

$\sin 2x (2 \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два уравнения:

1) $\sin 2x = 0$

Отсюда $2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, следовательно, $x = \frac{\pi n}{2}$.

Отберем те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$.

При $x = \frac{\pi n}{2}$, $\cos x$ принимает значения $1, 0, -1, 0, \dots$. Условие $\cos x \ge 0$ выполняется при $x = 2\pi k$ (где $n=4k$) и при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $n=2k+1$).

2) $2 \sin x - 1 = 0$

Отсюда $\sin x = \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $\cos x \ge 0$. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, имеем $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, значит, эта серия корней подходит. Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, имеем $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, значит, эта серия не подходит.

В первом случае решениями являются: $x = 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Случай 2: $\cos x < 0$

Это условие выполняется для всех $x$, принадлежащих промежуткам $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус, $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение принимает вид:

$-\cos x - \cos 3x = \sin 2x$

$-(\cos x + \cos 3x) = \sin 2x$

Используем формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2 \cos(2x) \cos x = \sin 2x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$-2 \cos(2x) \cos x = 2 \sin x \cos x$

Так как по условию этого случая $\cos x < 0$, то $\cos x \neq 0$, и на $2\cos x$ можно сократить:

$-\cos 2x = \sin x$

$\cos 2x + \sin x = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Пусть $t = \sin x$, тогда $2t^2 - t - 1 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\sin x = 1$. Тогда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При этих значениях $x$, $\cos x = 0$, что не удовлетворяет условию $\cos x < 0$. Решений нет.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $\cos x < 0$. Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, имеем $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, что не подходит. Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, имеем $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, эта серия корней подходит.

Во втором случае решением является серия $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Объединяя все найденные в обоих случаях серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $2\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.