Номер 679, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 679, страница 199.

Условие.

679 1) $\cos x \sin 5x = -1;$

2) $\sin x \cos 3x = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $ \cos x \sin 5x = -1 $.

Поскольку значения функций синуса и косинуса ограничены диапазоном $ [-1, 1] $, их произведение может быть равно $-1$ только в двух случаях:

1. $ \cos x = 1 $ и $ \sin 5x = -1 $
2. $ \cos x = -1 $ и $ \sin 5x = 1 $

Рассмотрим каждый случай в виде системы уравнений.

Случай 1:$$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ \sin 5x = -1 \end{cases} $$Из первого уравнения находим $x$: $ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим это значение во второе уравнение: $ \sin(5 \cdot 2\pi k) = \sin(10\pi k) $.
Так как $10k$ — целое число, $ \sin(10\pi k) = \sin(0) = 0 $.
Получаем равенство $ 0 = -1 $, которое не является верным. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2:$$ \begin{cases} \cos x = -1 \\ \sin 5x = 1 \end{cases} $$Из первого уравнения находим $x$: $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим это значение во второе уравнение: $ \sin(5(\pi + 2\pi k)) = \sin(5\pi + 10\pi k) $.
Используя периодичность синуса, получаем $ \sin(5\pi + 10\pi k) = \sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0 $.
Получаем равенство $ 0 = 1 $, которое также неверно. В этом случае решений тоже нет.

Альтернативное решение (через формулу преобразования произведения в сумму):

Применим формулу $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

$ \sin 5x \cos x = -1 $
$ \frac{1}{2}(\sin(5x+x) + \sin(5x-x)) = -1 $
$ \sin 6x + \sin 4x = -2 $

Сумма двух синусов равна $-2$ только в том случае, если каждый из них равен $-1$.

$$ \begin{cases} \sin 6x = -1 \\ \sin 4x = -1 \end{cases} $$Решим эту систему.
Из первого уравнения: $ 6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Из второго уравнения: $ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Приравняем выражения для $x$, чтобы найти общие решения:$ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2} $
Разделим на $ \pi $ и умножим на 24 (наименьшее общее кратное знаменателей):
$ -2 + 8n = -3 + 12m $
$ 8n - 12m = -1 $
$ 4(2n - 3m) = -1 $

Левая часть уравнения делится на 4, а правая нет. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах $n$ и $m$.Оба метода показывают, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Исходное уравнение: $ \sin x \cos 3x = -1 $.

Аналогично первому пункту, произведение равно $-1$ в двух случаях:

1. $ \sin x = 1 $ и $ \cos 3x = -1 $
2. $ \sin x = -1 $ и $ \cos 3x = 1 $

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1:$$ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases} $$Из первого уравнения: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставляем во второе: $ \cos(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $.
Получаем неверное равенство $ 0 = -1 $. Решений нет.

Случай 2:$$ \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 3x = 1 \end{cases} $$Из первого уравнения: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставляем во второе: $ \cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $.
Получаем неверное равенство $ 0 = 1 $. Решений нет.

Альтернативное решение (через формулу преобразования произведения в сумму):

Применим формулу $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

$ \sin x \cos 3x = -1 $
$ \frac{1}{2}(\sin(x+3x) + \sin(x-3x)) = -1 $
$ \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin(-2x)) = -1 $
$ \sin 4x - \sin 2x = -2 $

Это равенство возможно только если $ \sin 4x = -1 $ и $ \sin 2x = 1 $ одновременно.

$$ \begin{cases} \sin 4x = -1 \\ \sin 2x = 1 \end{cases} $$Решим эту систему.
Из первого уравнения: $ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Из второго уравнения: $ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Приравняем выражения для $x$:$ -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m $
Разделим на $ \pi $ и умножим на 8:
$ -1 + 4n = 2 + 8m $
$ 4n - 8m = 3 $
$ 4(n - 2m) = 3 $

Левая часть этого уравнения кратна 4, а правая — нет. Уравнение не имеет решений в целых числах $n$ и $m$.Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.