Номер 664, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 664, страница 198.

Условие.

664 1) $5 \sin x + \cos x = 5$;

2) $4 \sin x + 3 \cos x = 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $5 \sin x + \cos x = 5$.

Для решения уравнений вида $a \sin x + b \cos x = c$ удобно использовать метод универсальной тригонометрической подстановки. Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Этот метод не работает для $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, так как $\tan(x/2)$ в этих точках не определен. Проверим эти значения отдельно, подставив их в исходное уравнение. Если $x = \pi + 2\pi k$, то $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$.
$5 \cdot 0 + (-1) = 5$
$-1 = 5$
Это неверно, следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ не является решением.

Теперь выполним подстановку в исходное уравнение:

$5 \cdot \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):

$10t + 1 - t^2 = 5(1+t^2)$
$10t + 1 - t^2 = 5 + 5t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$6t^2 - 10t + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к замене $t = \tan(x/2)$ и найдем $x$ для каждого корня.

Случай 1: $t_1 = 1$

$\tan(x/2) = 1$
$x/2 = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $t_2 = 2/3$

$\tan(x/2) = \frac{2}{3}$
$x/2 = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = 2\arctan(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $4 \sin x + 3 \cos x = 6$.

Рассмотрим левую часть уравнения. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно преобразовать методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае $a=4$, $b=3$. Найдем значение $\sqrt{a^2+b^2}$:
$\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$4 \sin x + 3 \cos x = 5 \left( \frac{4}{5} \sin x + \frac{3}{5} \cos x \right)$

Так как $(\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$, существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

Тогда левая часть примет вид:

$5 (\cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x) = 5 \sin(x+\alpha)$

Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $5 \sin(x+\alpha)$ — это отрезок $[-5, 5]$.

Исходное уравнение $4 \sin x + 3 \cos x = 6$ превращается в $5 \sin(x+\alpha) = 6$.
Левая часть уравнения может принимать значения только от -5 до 5, а правая часть равна 6. Поскольку $6$ не входит в отрезок $[-5, 5]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.